Encontre a solução geral das seguintes equações:

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial . Esse tipo de equação entra na categoria das equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para resolver, vamos usar o método do fator integrante, que nos ajuda a encontrar a solução geral dessa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os componentes da equação. Aqui, é a derivada de em relação a , é uma constante, e é a variável independente. A equação tem a forma padrão , onde e .

Passo 3

O próximo passo é encontrar o fator integrante, que vamos chamar de . Ele é calculado usando a fórmula:
Substituindo :

Passo 4

Agora, multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante :
Isso transforma a equação em uma forma que facilita a integração.

Passo 5

Observamos que o lado esquerdo da equação é a derivada do produto . Ou seja:
Agora, vamos integrar ambos os lados em relação a :

Passo 6

A integral do lado esquerdo simplifica para:
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Agora, vamos resolver a integral usando o método de integração por partes. Seja:
Aplicando integração por partes:

Passo 8

Substituindo de volta na equação:
Agora, vamos isolar :

Resposta

A solução geral da equação é:
Onde é uma constante arbitrária.

Exercícios relacionados

(1,0 ponto) Verifique se a função a seguir é ou não contínua no ponto dado deixando claro como chegou à conclusão:
Resolva as equações diferenciais abaixo:
(1,5 ponto) Calcule, por meio da definição de derivadas parciais, ou seja, usando limites, onde .
Encontre a solução geral das seguintes equações: