Encontre a solução geral das seguintes equações:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial
. Esse tipo de equação entra na categoria das equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para resolver, vamos usar o método do fator integrante, que nos ajuda a encontrar a solução geral dessa equação.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os componentes da equação. Aqui,
é a derivada de
em relação a
,
é uma constante, e
é a variável independente. A equação tem a forma padrão
, onde
e
.
Passo 3
O próximo passo é encontrar o fator integrante, que vamos chamar de
. Ele é calculado usando a fórmula:
Substituindo
:
Passo 4
Agora, multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante
:
Isso transforma a equação em uma forma que facilita a integração.
Passo 5
Observamos que o lado esquerdo da equação é a derivada do produto
. Ou seja:
Agora, vamos integrar ambos os lados em relação a
:
Passo 6
A integral do lado esquerdo simplifica para:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Agora, vamos resolver a integral
usando o método de integração por partes. Seja:
Aplicando integração por partes:
Passo 8
Substituindo de volta na equação:
Agora, vamos isolar
:
Resposta
A solução geral da equação
é:
Onde
é uma constante arbitrária.
Exercícios relacionados
(1,0 ponto) Verifique se a função a seguir é ou não contínua no ponto dado deixando claro como chegou à conclusão:
Resolva as equações diferenciais abaixo:
(1,5 ponto) Calcule, por meio da definição de derivadas parciais, ou seja, usando limites,
onde
.
Encontre a solução geral das seguintes equações: