(1,5 ponto) Calcule, por meio da definição de derivadas parciais, ou seja, usando limites, onde .

Passo 1

Vamos analisar o enunciado. Precisamos calcular a derivada parcial de em relação a usando a definição de derivadas parciais, ou seja, utilizando limites.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a definição de derivada parcial de em relação a . A derivada parcial em um ponto é dada por:

Passo 3

Substituindo a função na definição, temos:

Passo 4

Vamos simplificar a expressão no numerador:
Expandindo :
Portanto:

Passo 5

Agora, substituímos de volta na expressão da derivada:
Ao levar a 0:

Resposta

A derivada parcial de em relação a é .

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(1,0 ponto) Verifique se a função a seguir é ou não contínua no ponto dado deixando claro como chegou à conclusão:
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Resolva as equações diferenciais abaixo: