(1,5 ponto) Calcule, por meio da definição de derivadas parciais, ou seja, usando limites, partial fpartial x(x, y) onde f(x, y)=3 x^2 y^2.

Passo 1

Vamos analisar o enunciado. Precisamos calcular a derivada parcial de em relação a usando a definição de derivadas parciais, ou seja, utilizando limites.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a definição de derivada parcial de partial fpartial x(x, y) = limh to 0 f(x + h, y) - f(x, y)h em relação a . A derivada parcial em um ponto é dada por:

Passo 3

Substituindo a função partial fpartial x(x, y) = limh to 0 3(x + h)^2 y^2 - 3x^2 y^2h na definição, temos:

Passo 4

Vamos simplificar a expressão no numerador:
3(x + h)^2 y^2 - 3x^2 y^2 = 3y^2 [(x + h)^2 - x^2]
Expandindo (x + h)^2 = x^2 + 2xh + h^2 :
3y^2 [(x^2 + 2xh + h^2) - x^2] = 3y^2 (2xh + h^2) = 6x y^2 h + 3y^2 h^2
Portanto:

Passo 5

Agora, substituímos de volta na expressão da derivada:
partial fpartial x(x, y) = limh to 0 6x y^2 h + 3y^2 h^2h = limh to 0 (6x y^2 + 3y^2 h)
Ao levar partial fpartial x(x, y) = 6x y^2 a 0:

Resposta

A derivada parcial de em relação a é .

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