(1,0 ponto) Verifique se a função a seguir é ou não contínua no ponto dado deixando claro como chegou à conclusão:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função
definida de duas formas diferentes: uma quando
e outra quando
. A tarefa é verificar se essa função é contínua no ponto
. Para isso, vamos precisar utilizar os conceitos de limite e continuidade de funções de duas variáveis.
Passo 2
Continuar a análise de continuidade de uma função em um ponto envolve verificar se o limite da função quando
se aproxima de
é igual ao valor da função nesse ponto. Ou seja, precisamos calcular:
e comparar com:
Passo 3
Vamos calcular o limite da função quando
se aproxima de
. Substituindo
pela expressão fornecida:
Para facilitar, vamos converter para coordenadas polares, onde
e
, com
.
Passo 4
Substituindo em coordenadas polares:
Perceba que
cancelou, e o limite agora depende apenas de
.
Passo 5
Observamos que a expressão resultante:
depende do ângulo
. Para que o limite exista, ele deve ser o mesmo para qualquer
. Mas, ao testar diferentes valores de
, podemos ver que o resultado varia, o que indica que o limite não é único.
Passo 6
Por exemplo, se escolhermos
:
E se escolhermos
:
Os limites são diferentes dependendo do caminho que escolhemos para aproximar
.
Resposta
Como o limite da função depende do caminho escolhido para
e não é único, concluímos que a função
não é contínua no ponto
.
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(1,5 ponto) Calcule, por meio da definição de derivadas parciais, ou seja, usando limites,
onde
.