(1,0 ponto) Verifique se a função a seguir é ou não contínua no ponto dado deixando claro como chegou à conclusão:
f(x, y)=ll 6 x^3 y2 x^4+y^4, & se (x, y) neq(0,0) 0, & se (x, y)=(0,0) no ponto (0,0)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função definida de duas formas diferentes: uma quando e outra quando . A tarefa é verificar se essa função é contínua no ponto . Para isso, vamos precisar utilizar os conceitos de limite e continuidade de funções de duas variáveis.

Passo 2

Continuar a análise de continuidade de uma função em um ponto envolve verificar se o limite da função quando lim(x, y) to (0,0) f(x, y) se aproxima de f(0,0) = 0 é igual ao valor da função nesse ponto. Ou seja, precisamos calcular:
e comparar com:

Passo 3

Vamos calcular o limite da função quando lim(x, y) to (0,0) 6 x^3 y2 x^4+y^4 se aproxima de . Substituindo pela expressão fornecida:
Para facilitar, vamos converter para coordenadas polares, onde e , com .

Passo 4

Substituindo em coordenadas polares:
6 (r costheta)^3 (r sintheta)2 (r costheta)^4 + (r sintheta)^4 = 6 r^4 cos^3theta sintheta2 r^4 cos^4theta + r^4 sin^4theta = 6 cos^3theta sintheta2 cos^4theta + sin^4theta
Perceba que cancelou, e o limite agora depende apenas de .

Passo 5

Observamos que a expressão resultante:
6 cos^3theta sintheta2 cos^4theta + sin^4theta
depende do ângulo . Para que o limite exista, ele deve ser o mesmo para qualquer . Mas, ao testar diferentes valores de , podemos ver que o resultado varia, o que indica que o limite não é único.

Passo 6

Por exemplo, se escolhermos 6 cos^3(0) sin(0)2 cos^4(0) + sin^4(0) = 0 :
6 (raiz22)^3 (raiz22)2 (raiz22)^4 + (raiz22)^4 = 6 cdot 2raiz2162 cdot 416 + 416 = 12raiz2161216 = raiz2 neq 0
E se escolhermos :
Os limites são diferentes dependendo do caminho que escolhemos para aproximar .

Resposta

Como o limite da função depende do caminho escolhido para e não é único, concluímos que a função não é contínua no ponto .

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