(1,0 ponto) Verifique se a função a seguir é ou não contínua no ponto dado deixando claro como chegou à conclusão:

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função definida de duas formas diferentes: uma quando e outra quando . A tarefa é verificar se essa função é contínua no ponto . Para isso, vamos precisar utilizar os conceitos de limite e continuidade de funções de duas variáveis.

Passo 2

Continuar a análise de continuidade de uma função em um ponto envolve verificar se o limite da função quando se aproxima de é igual ao valor da função nesse ponto. Ou seja, precisamos calcular:
e comparar com:

Passo 3

Vamos calcular o limite da função quando se aproxima de . Substituindo pela expressão fornecida:
Para facilitar, vamos converter para coordenadas polares, onde e , com .

Passo 4

Substituindo em coordenadas polares:
Perceba que cancelou, e o limite agora depende apenas de .

Passo 5

Observamos que a expressão resultante:
depende do ângulo . Para que o limite exista, ele deve ser o mesmo para qualquer . Mas, ao testar diferentes valores de , podemos ver que o resultado varia, o que indica que o limite não é único.

Passo 6

Por exemplo, se escolhermos :
E se escolhermos :
Os limites são diferentes dependendo do caminho que escolhemos para aproximar .

Resposta

Como o limite da função depende do caminho escolhido para e não é único, concluímos que a função não é contínua no ponto .

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Encontre a solução geral das seguintes equações:
(1,5 ponto) Calcule, por meio da definição de derivadas parciais, ou seja, usando limites, onde .