Mostre que função
é descontínua em
Passo 1
Então, vamos ver o que a questão está pedindo. Temos uma função definida por partes:
A gente precisa mostrar que essa função é descontínua em
. Para isso, vamos usar os conceitos de limite e avaliação da função no ponto específico.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a parte da função onde
. Olha só o numerador e o denominador:
Numerador:
que é uma diferença de quadrados, então pode ser fatorado assim:
Denominador:
que precisa ser fatorado também. Procuramos dois números que multiplicados dão -5 e somados dão -4. Esses números são -5 e 1:
Passo 3
Agora, substituímos essas fatorações na função quando
:
Perceba que o termo
está tanto no numerador quanto no denominador, então podemos simplificar:
Passo 4
Com a função simplificada, agora vamos calcular o limite de
quando
se aproxima de 5:
Passo 5
Agora, vamos comparar esse limite com o valor da função em
:
- Limite quando
se aproxima de 5: - Valor da função em 5:
Como
não é igual a
, isso significa que a função não satisfaz a condição de continuidade.
Resposta
Portanto, a função
é descontínua em
porque o limite quando
se aproxima de 5 não coincide com o valor da função nesse ponto.
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variará em relação a
quando
?
Redefina a função
de modo que fique contínua em 5.