Mostre que função f(x) = { (x^2 - 25) / (x^2 - 4x - 5) se x ≠ 5; raiz(2) se x = 5 } é descontínua em x = 5

Passo 1

Então, vamos ver o que a questão está pedindo. Temos uma função definida por partes:
A gente precisa mostrar que essa função é descontínua em . Para isso, vamos usar os conceitos de limite e avaliação da função no ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a parte da função onde . Olha só o numerador e o denominador:
Numerador: que é uma diferença de quadrados, então pode ser fatorado assim:
Denominador: que precisa ser fatorado também. Procuramos dois números que multiplicados dão -5 e somados dão -4. Esses números são -5 e 1:

Passo 3

Agora, substituímos essas fatorações na função quando :
Perceba que o termo está tanto no numerador quanto no denominador, então podemos simplificar:

Passo 4

Com a função simplificada, agora vamos calcular o limite de quando se aproxima de 5:

Passo 5

Agora, vamos comparar esse limite com o valor da função em :
  • Limite quando se aproxima de 5:
  • Valor da função em 5:
Como não é igual a , isso significa que a função não satisfaz a condição de continuidade.

Resposta

Portanto, a função é descontínua em porque o limite quando se aproxima de 5 não coincide com o valor da função nesse ponto.

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