Uma escada com 10m de comprimento está apoiada numa parede vertical. Seja
o ângulo entre o topo da escada e a parede e
a distância da base da escada até a parede. Se a base da escada escorregar para longe da parede, com que rapidez
variará em relação a
quando
?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre uma escada apoiada numa parede. A gente precisa usar trigonometria, que é a parte da matemática que lida com ângulos e lados de triângulos. No caso, temos uma escada de 10 metros formando um triângulo com a parede e o chão. Vamos precisar da relação entre os lados desse triângulo e os ângulos envolvidos para descobrir como a distância da base da escada à parede (
) muda em relação ao ângulo (
) quando
.
Passo 2
Primeiro, vamos relacionar os lados do triângulo usando o cosseno. O cosseno de um ângulo em um triângulo retângulo é igual ao lado adjacente dividido pela hipotenusa. Aqui, o lado adjacente à angle
é
e a hipotenusa é a escada de 10 metros. Então, temos:
Passo 3
Agora, queremos saber como
varia em relação a
, ou seja, queremos encontrar a derivada de
em relação a
, que é
. Para isso, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a
.
Derivando a equação:
Sabemos que a derivada de
é
, e a derivada de
é
. Então:
Passo 4
Agora, vamos resolver para
isolando essa derivada:
Passo 5
Finalmente, vamos calcular
quando
. Sabemos que:
Então:
Resposta
Quando
, a taxa de variação de
em relação a
é
metros por radiano.
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