Uma escada com 10m de comprimento está apoiada numa parede vertical. Seja o ângulo entre o topo da escada e a parede e a distância da base da escada até a parede. Se a base da escada escorregar para longe da parede, com que rapidez variará em relação a quando ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre uma escada apoiada numa parede. A gente precisa usar trigonometria, que é a parte da matemática que lida com ângulos e lados de triângulos. No caso, temos uma escada de 10 metros formando um triângulo com a parede e o chão. Vamos precisar da relação entre os lados desse triângulo e os ângulos envolvidos para descobrir como a distância da base da escada à parede ( ) muda em relação ao ângulo ( ) quando .

Passo 2

Primeiro, vamos relacionar os lados do triângulo usando o cosseno. O cosseno de um ângulo em um triângulo retângulo é igual ao lado adjacente dividido pela hipotenusa. Aqui, o lado adjacente à angle é e a hipotenusa é a escada de 10 metros. Então, temos:

Passo 3

Agora, queremos saber como varia em relação a , ou seja, queremos encontrar a derivada de em relação a , que é . Para isso, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a .
Derivando a equação:
Sabemos que a derivada de é , e a derivada de é . Então:

Passo 4

Agora, vamos resolver para isolando essa derivada:

Passo 5

Finalmente, vamos calcular quando . Sabemos que:
Então:

Resposta

Quando , a taxa de variação de em relação a é metros por radiano.

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