Encontre a soluçāo geral do sistema linear e use-a para encontrar uma soluçāo geral do sistema homogêneo associado e uma soluçāo particular do sistema dado.
(ccccc 1 & 1 & 1 & 2 & 6 & 8 & 1 & -1 & & 2 & 0 & 1 & -1 )(l x1 x2 x3 x4 )=(c 3 7 12 )

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a solução geral de um sistema linear e, a partir disso, identificar a solução geral do sistema homogêneo associado e uma solução particular do sistema dado. Estamos lidando com sistemas lineares aqui, então vamos precisar usar métodos de eliminação de Gauss para simplificar as equações e resolver para as variáveis. As equações que temos são:
x1 + x2 + x3 + 2x4 = 3 6x1 + 8x2 + x3 - x4 = 7 2x2 + x4 = 12

Passo 2

Primeiro, vamos organizar o sistema em uma matriz aumentada para facilitar os cálculos. A matriz aumentada fica assim:
1 & 1 & 1 & 2 & | & 3 6 & 8 & 1 & -1 & | & 7 0 & 2 & 0 & 1 & | & 12
Aqui, as colunas representam os coeficientes das variáveis e a última coluna após o representa os termos independentes.

Passo 3

Vamos usar o método de eliminação de Gauss para simplificar essa matriz. O objetivo é transformar a matriz em uma forma triangular superior, onde abaixo da diagonal principal tudo é zero.
Primeiro, vamos eliminar o Linha 2 = Linha 2 - 6 times Linha 1 na segunda linha da primeira coluna. Para isso, multiplicamos a Linha 1 por 6 - 6 times 1 = 0 8 - 6 times 1 = 2 1 - 6 times 1 = -5 -1 - 6 times 2 = -13 7 - 6 times 3 = -11 e subtraímos da Linha 2:
0 2 -5 -13 | -11
Calculando:
Então, a nova Linha 2 fica:

Passo 4

Agora, a matriz está assim:
1 & 1 & 1 & 2 & | & 3 0 & 2 & -5 & -13 & | & -11 0 & 2 & 0 & 1 & | & 12
Vamos eliminar o Linha 3 = Linha 3 - Linha 2 na terceira linha da segunda coluna. Subtraímos a Linha 2 da Linha 3:
0 - 0 = 0 2 - 2 = 0 0 - (-5) = 5 1 - (-13) = 14 12 - (-11) = 23
Calculando:
0 0 5 14 | 23
A nova Linha 3 fica:

Passo 5

A matriz agora está em forma mais simples:
1 & 1 & 1 & 2 & | & 3 0 & 2 & -5 & -13 & | & -11 0 & 0 & 5 & 14 & | & 23
Vamos agora resolver para as variáveis começando da terceira linha para cima.
Da Linha 3:
5x3 + 14x4 = 23 Rightarrow x3 = 23 - 14x45
Aqui, é uma variável livre, já que temos mais variáveis do que equações.

Passo 6

Substituindo 2x2 -5(23 - 14x45) -13x4 = -11 Rightarrow 2x2 - (23 - 14x4) -13x4 = -11 Rightarrow 2x2 -23 +14x4 -13x4 = -11 Rightarrow 2x2 + x4 = 12 Rightarrow x2 = 12 - x42 na Linha 2:

Passo 7

Agora, substituímos x1 + (12 - x42) + (23 - 14x45) + 2x4 = 3 e 10x1 + 5(12 - x4) + 2(23 - 14x4) + 20x4 = 30 Rightarrow 10x1 + 60 -5x4 +46 -28x4 +20x4 =30 Rightarrow 10x1 +106 -13x4 =30 Rightarrow 10x1 =30 -106 +13x4 Rightarrow 10x1 = -76 +13x4 Rightarrow x1 = -76 +13x410 Rightarrow x1 = -7610 + 1310x4 Rightarrow x1 = -7.6 +1.3x4 na Linha 1 para encontrar x1 = 13x4 -7610 :
Vamos resolver isso passo a passo:
Primeiro, encontre um denominador comum, que é :
Para simplificar, podemos manter as frações:

Passo 8

Agora, temos tudo o que precisamos para expressar a solução geral em função da variável livre x1 = 1310x4 - 7610 x2 = 122 - 12x4 = 6 - 12x4 x3 = 235 - 145x4 x4 = x4 (livre) :
x1 = 1310t - 7610 x2 =6 - 12t x3 = 235 - 145t x4 = t
Podemos também expressar isso usando um parâmetro :

Passo 9

Agora, vamos separar a solução geral do sistema homogêneo associado (onde o lado direito é zero) e uma solução particular do sistema original.
Sistema Homogêneo:
x1 + x2 + x3 + 2x4 = 0 6x1 + 8x2 + x3 - x4 = 0 2x2 + x4 = 0
Seguindo os mesmos passos de eliminação, encontramos que:
x1 = 1310t x2 =6 - 12t x3 = 235 - 145t x4 = t
Ao ajustar para o sistema homogêneo x1 = -7.6 x2 =6 x3 =4.6 x4 =0 , temos a solução trivial:
x1 = -7.6 x2 =6 x3 =4.6 x4 =0
Solução Particular do Sistema Original:
A solução geral pode ser escrita como a soma da solução homogênea e uma solução particular. Observando nossos cálculos, a parte que não depende de representa a solução particular:

Resposta

A solução geral do sistema é dada por:
x1 = 1310x4 - 7610 x2 =6 - 12x4 x3 = 235 - 145x4 x4 = t (onde t é um parâmetro real) éâ
A solução geral do sistema homogêneo associado é:
x1 = 1310t x2 = -12t x3 = -145t x4 = t
E uma solução particular do sistema dado é:
x1 = -7610 x2 =6 x3 = 235 x4 =0

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