Encontre a soluçāo geral do sistema linear e use-a para encontrar uma soluçāo geral do sistema homogêneo associado e uma soluçāo particular do sistema dado.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a solução geral de um sistema linear e, a partir disso, identificar a solução geral do sistema homogêneo associado e uma solução particular do sistema dado. Estamos lidando com sistemas lineares aqui, então vamos precisar usar métodos de eliminação de Gauss para simplificar as equações e resolver para as variáveis. As equações que temos são:
Passo 2
Primeiro, vamos organizar o sistema em uma matriz aumentada para facilitar os cálculos. A matriz aumentada fica assim:
Aqui, as colunas representam os coeficientes das variáveis e a última coluna após o representa os termos independentes.
Passo 3
Vamos usar o método de eliminação de Gauss para simplificar essa matriz. O objetivo é transformar a matriz em uma forma triangular superior, onde abaixo da diagonal principal tudo é zero.
Primeiro, vamos eliminar o na segunda linha da primeira coluna. Para isso, multiplicamos a Linha 1 por e subtraímos da Linha 2:
Calculando:
Então, a nova Linha 2 fica:
Passo 4
Agora, a matriz está assim:
Vamos eliminar o na terceira linha da segunda coluna. Subtraímos a Linha 2 da Linha 3:
Calculando:
A nova Linha 3 fica:
Passo 5
A matriz agora está em forma mais simples:
Vamos agora resolver para as variáveis começando da terceira linha para cima.
Da Linha 3:
Aqui, é uma variável livre, já que temos mais variáveis do que equações.
Passo 6
Substituindo na Linha 2:
Passo 7
Agora, substituímos e na Linha 1 para encontrar :
Vamos resolver isso passo a passo:
Primeiro, encontre um denominador comum, que é :
Para simplificar, podemos manter as frações:
Passo 8
Agora, temos tudo o que precisamos para expressar a solução geral em função da variável livre :
Podemos também expressar isso usando um parâmetro :
Passo 9
Agora, vamos separar a solução geral do sistema homogêneo associado (onde o lado direito é zero) e uma solução particular do sistema original.
Sistema Homogêneo:
Seguindo os mesmos passos de eliminação, encontramos que:
Ao ajustar para o sistema homogêneo , temos a solução trivial:
Solução Particular do Sistema Original:
A solução geral pode ser escrita como a soma da solução homogênea e uma solução particular. Observando nossos cálculos, a parte que não depende de representa a solução particular: