Encontre a soluçāo geral do sistema linear e use-a para encontrar uma soluçāo geral do sistema homogêneo associado e uma soluçāo particular do sistema dado.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a solução geral de um sistema linear e, a partir disso, identificar a solução geral do sistema homogêneo associado e uma solução particular do sistema dado. Estamos lidando com sistemas lineares aqui, então vamos precisar usar métodos de eliminação de Gauss para simplificar as equações e resolver para as variáveis. As equações que temos são:

Passo 2

Primeiro, vamos organizar o sistema em uma matriz aumentada para facilitar os cálculos. A matriz aumentada fica assim:
Aqui, as colunas representam os coeficientes das variáveis e a última coluna após o representa os termos independentes.

Passo 3

Vamos usar o método de eliminação de Gauss para simplificar essa matriz. O objetivo é transformar a matriz em uma forma triangular superior, onde abaixo da diagonal principal tudo é zero.
Primeiro, vamos eliminar o na segunda linha da primeira coluna. Para isso, multiplicamos a Linha 1 por e subtraímos da Linha 2:
Calculando:
Então, a nova Linha 2 fica:

Passo 4

Agora, a matriz está assim:
Vamos eliminar o na terceira linha da segunda coluna. Subtraímos a Linha 2 da Linha 3:
Calculando:
A nova Linha 3 fica:

Passo 5

A matriz agora está em forma mais simples:
Vamos agora resolver para as variáveis começando da terceira linha para cima.
Da Linha 3:
Aqui, é uma variável livre, já que temos mais variáveis do que equações.

Passo 6

Substituindo na Linha 2:

Passo 7

Agora, substituímos e na Linha 1 para encontrar :
Vamos resolver isso passo a passo:
Primeiro, encontre um denominador comum, que é :
Para simplificar, podemos manter as frações:

Passo 8

Agora, temos tudo o que precisamos para expressar a solução geral em função da variável livre :
Podemos também expressar isso usando um parâmetro :

Passo 9

Agora, vamos separar a solução geral do sistema homogêneo associado (onde o lado direito é zero) e uma solução particular do sistema original.
Sistema Homogêneo:
Seguindo os mesmos passos de eliminação, encontramos que:
Ao ajustar para o sistema homogêneo , temos a solução trivial:
Solução Particular do Sistema Original:
A solução geral pode ser escrita como a soma da solução homogênea e uma solução particular. Observando nossos cálculos, a parte que não depende de representa a solução particular:

Resposta

A solução geral do sistema é dada por:
éâ
A solução geral do sistema homogêneo associado é:
E uma solução particular do sistema dado é:

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Das afirmações abaixo: justifique se for verdadeira, dê um contra-exemplo caso for falsa. (f) ( ) Se e , então .
Dados os vetores , determinar um vetor tal que:
b)
Escreva a equação do plano:
paralelo ao plano unidades acima dele;
Encontre a soluçāo geral do sistema linear e confirme que os vetores linha da matriz de coeficientes sāo ortogonais aos vetores soluçāo