Encontre a soluçāo geral do sistema linear e use-a para encontrar uma soluçāo geral do sistema homogêneo associado e uma soluçāo particular do sistema dado.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a solução geral de um sistema linear e, a partir disso, identificar a solução geral do sistema homogêneo associado e uma solução particular do sistema dado. Estamos lidando com sistemas lineares aqui, então vamos precisar usar métodos de eliminação de Gauss para simplificar as equações e resolver para as variáveis. As equações que temos são:
Aqui, as colunas representam os coeficientes das variáveis e a última coluna após o representa os termos independentes.
Passo 3
Vamos usar o método de eliminação de Gauss para simplificar essa matriz. O objetivo é transformar a matriz em uma forma triangular superior, onde abaixo da diagonal principal tudo é zero.
Primeiro, vamos eliminar o Linha 2 = Linha 2 - 6 times Linha 1 na segunda linha da primeira coluna. Para isso, multiplicamos a Linha 1 por 6 - 6 times 1 = 0 8 - 6 times 1 = 2 1 - 6 times 1 = -5 -1 - 6 times 2 = -13 7 - 6 times 3 = -11 e subtraímos da Linha 2:
Seguindo os mesmos passos de eliminação, encontramos que:
x1 = 1310t x2 =6 - 12t x3 = 235 - 145t x4 = t
Ao ajustar para o sistema homogêneo x1 = -7.6 x2 =6 x3 =4.6 x4 =0 , temos a solução trivial:
x1 = -7.6 x2 =6 x3 =4.6 x4 =0
Solução Particular do Sistema Original:
A solução geral pode ser escrita como a soma da solução homogênea e uma solução particular. Observando nossos cálculos, a parte que não depende de representa a solução particular:
Resposta
A solução geral do sistema é dada por:
x1 = 1310x4 - 7610 x2 =6 - 12x4 x3 = 235 - 145x4 x4 = t (onde t é um parâmetro real) éâ