Encontre a solução geral do sistema:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um sistema de equações diferenciais onde
e
. O que precisamos fazer é encontrar a solução geral desse sistema. Para isso, vamos usar conceitos de sistemas lineares com coeficientes constantes, especificamente encontrando os autovalores e autovetores da matriz associada ao sistema.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema de equações de forma matricial. Isso facilita para aplicar a teoria de autovalores e autovetores. A matriz do sistema é:
Então, o sistema fica:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar os autovalores dessa matriz
. Os autovalores são valores de
que satisfazem a equação característica:
Onde
é a matriz identidade. Vamos calcular isso:
Simplificando:
Passo 4
Vamos resolver a equação quadrática
. Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, temos um autovalor repetido:
.
Passo 5
Como temos um autovalor repetido, precisamos encontrar um autovetor e possivelmente um vetor generalizado. Vamos encontrar o autovetor
que satisfaz
.
Calculando
:
Resolvendo
:
Isso nos dá
. Podemos escolher
, então o autovetor é:
Passo 6
Como o autovalor é repetido e a matriz
tem apenas um autovetor linearmente independente, precisamos encontrar um vetor generalizado
que satisfaz
.
Resolvendo
:
Isso nos dá:
Ambas as equações são equivalentes, então podemos escolher
, então
. Portanto, o vetor generalizado é:
Passo 7
Com o autovalor
, o autovetor
e o vetor generalizado
, podemos escrever a solução geral do sistema. A solução será uma combinação linear de
e
:
Onde
e
são constantes determinadas pelas condições iniciais.
Resposta
A solução geral do sistema é:
Onde
e
são constantes que dependem das condições iniciais.