Encontre a solução geral do sistema:
d x/d t = 5 x + y, d y/d t = -x + 3 y

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um sistema de equações diferenciais onde e . O que precisamos fazer é encontrar a solução geral desse sistema. Para isso, vamos usar conceitos de sistemas lineares com coeficientes constantes, especificamente encontrando os autovalores e autovetores da matriz associada ao sistema.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações de forma matricial. Isso facilita para aplicar a teoria de autovalores e autovetores. A matriz do sistema é:
Então, o sistema fica:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar os autovalores dessa matriz . Os autovalores são valores de que satisfazem a equação característica:
Onde é a matriz identidade. Vamos calcular isso:
Simplificando:

Passo 4

Vamos resolver a equação quadrática . Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, temos um autovalor repetido: .

Passo 5

Como temos um autovalor repetido, precisamos encontrar um autovetor e possivelmente um vetor generalizado. Vamos encontrar o autovetor que satisfaz .
Calculando :
Resolvendo :
Isso nos dá . Podemos escolher , então o autovetor é:

Passo 6

Como o autovalor é repetido e a matriz tem apenas um autovetor linearmente independente, precisamos encontrar um vetor generalizado que satisfaz .
Resolvendo :
Isso nos dá:
Ambas as equações são equivalentes, então podemos escolher , então . Portanto, o vetor generalizado é:

Passo 7

Com o autovalor , o autovetor e o vetor generalizado , podemos escrever a solução geral do sistema. A solução será uma combinação linear de e :
Onde e são constantes determinadas pelas condições iniciais.

Resposta

A solução geral do sistema é:
Onde e são constantes que dependem das condições iniciais.

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