Resolva a equação diferencial não homogênea:
Suponha que
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial
com as condições iniciais
e
. O conteúdo que vamos usar aqui é de equações diferenciais lineares não homogêneas de segunda ordem. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral da equação homogênea associada e uma solução particular da equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é
. Para isso, assumimos uma solução da forma
. Substituindo na equação homogênea:
Como
nunca é zero, temos a equação característica:
Portanto, as soluções da equação homogênea são:
Passo 3
Agora, vamos encontrar uma solução particular da equação não homogênea
. Como o lado direito é
, tentamos uma solução particular do tipo:
Essa forma é escolhida porque
e
já são soluções da equação homogênea.
Passo 4
Vamos derivar
para encontrar
e
:
Substituindo
e suas derivadas na equação original:
Igualando ao lado direito
:
Isso nos dá o sistema:
Portanto, a solução particular é:
Passo 5
A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a particular:
Passo 6
Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar
e
.
Primeiro, para
:
Então,
.
Segundo, para
, derivamos
:
Substituindo
e
:
Logo,
.
Resposta
A solução da equação diferencial é:
Exercícios relacionados
Encontre a solução geral do sistema:
Use o método de variação de parâmetros para resolver a equação:
Resolva o seguinte sistema de equações diferenciais de primeira ordem com coeficientes constantes:
Suponha que
e
.
Esboçar as curvas seguintes, representando o sentido positivo de percurso. Obter uma parametrização da curva dada, orientada no sentido contrário.
e)
e)