Resolva a equação diferencial não homogênea:
Suponha que e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial com as condições iniciais e . O conteúdo que vamos usar aqui é de equações diferenciais lineares não homogêneas de segunda ordem. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral da equação homogênea associada e uma solução particular da equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é . Para isso, assumimos uma solução da forma . Substituindo na equação homogênea:
Como nunca é zero, temos a equação característica:
Portanto, as soluções da equação homogênea são:

Passo 3

Agora, vamos encontrar uma solução particular da equação não homogênea . Como o lado direito é , tentamos uma solução particular do tipo:
Essa forma é escolhida porque e já são soluções da equação homogênea.

Passo 4

Vamos derivar para encontrar e :
Substituindo e suas derivadas na equação original:
Igualando ao lado direito :
Isso nos dá o sistema:
Portanto, a solução particular é:

Passo 5

A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a particular:

Passo 6

Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar e .
Primeiro, para :
Então, .
Segundo, para , derivamos :
Substituindo e :
Logo, .

Resposta

A solução da equação diferencial é:

Exercícios relacionados

Encontre a solução geral do sistema:
Use o método de variação de parâmetros para resolver a equação:
Resolva o seguinte sistema de equações diferenciais de primeira ordem com coeficientes constantes:
Suponha que e .
Esboçar as curvas seguintes, representando o sentido positivo de percurso. Obter uma parametrização da curva dada, orientada no sentido contrário.
e)