Verifique se a seguinte equação é exata e, se for, resolva-a:

Passo 1

Beleza! Vamos analisar a equação diferencial dada:
Vamos verificar se essa equação é exata. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais exatas, que fazem parte do conteúdo de cálculo diferencial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma equação diferencial exata. Uma equação da forma:
é chamada de exata se existir uma função tal que:
Isso significa que podemos encontrar uma função cuja derivada total nos leva de volta à equação original.

Passo 3

Para verificar se a equação dada é exata, vamos identificar e :
Agora, calculamos as derivadas parciais e :

Passo 4

Comparando as derivadas parciais:
Como elas são iguais, a equação é exata!

Passo 5

Agora, vamos encontrar a função . Para isso, integramos em relação a :
Aqui, é uma função que depende apenas de .

Passo 6

Para encontrar , derivamos em relação a e igualamos a :
Isso nos dá:
onde é a constante de integração.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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Resolva a seguinte equação diferencial utilizando separação de variáveis:
Suponha que .
Resolva a equação diferencial de segunda ordem homogênea:
Dada a condição inicial e .
Use o método de variação de parâmetros para resolver a equação:
Encontre a solução geral do sistema: