Verifique se a seguinte equação é exata e, se for, resolva-a:
Passo 1
Beleza! Vamos analisar a equação diferencial dada:
Vamos verificar se essa equação é exata. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais exatas, que fazem parte do conteúdo de cálculo diferencial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma equação diferencial exata. Uma equação da forma:
é chamada de exata se existir uma função
tal que:
Isso significa que podemos encontrar uma função
cuja derivada total nos leva de volta à equação original.
Passo 3
Para verificar se a equação dada é exata, vamos identificar
e
:
Agora, calculamos as derivadas parciais
e
:
Passo 4
Comparando as derivadas parciais:
Como elas são iguais, a equação é exata!
Passo 5
Agora, vamos encontrar a função
. Para isso, integramos
em relação a
:
Aqui,
é uma função que depende apenas de
.
Passo 6
Para encontrar
, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Isso nos dá:
onde
é a constante de integração.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Exercícios relacionados
Resolva a seguinte equação diferencial utilizando separação de variáveis:
Suponha que
.
Resolva a equação diferencial de segunda ordem homogênea:
Dada a condição inicial
e
.
Use o método de variação de parâmetros para resolver a equação:
Encontre a solução geral do sistema: