Use o método de variação de parâmetros para resolver a equação:
Passo 1
Vamos resolver a equação diferencial de segunda ordem:
Utilizaremos o método de variação de parâmetros, que é uma técnica para encontrar soluções particulares de equações diferenciais não homogêneas. Para isso, precisaremos primeiro encontrar a solução da equação homogênea associada.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea:
Para isso, encontramos as raízes da equação característica:
Resolvendo a equação quadrática:
Assim, as raízes são:
Portanto, a solução geral da equação homogênea é:
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 3
Agora, vamos encontrar uma solução particular
da equação não homogênea usando o método de variação de parâmetros. A ideia é assumir que as constantes
e
na solução homogênea são, na verdade, funções de
:
Para encontrar
e
, precisamos resolver o seguinte sistema:
Subtraindo a primeira equação da segunda:
Integrando:
Substituindo
na primeira equação:
Integrando:
Portanto, a solução particular é:
Passo 4
Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:
Podemos também escrever de forma simplificada agrupando os termos com
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
e
são constantes arbitrárias.
Exercícios relacionados
Verifique se a seguinte equação é exata e, se for, resolva-a:
Resolva a seguinte equação diferencial utilizando separação de variáveis:
Suponha que
.
Encontre a solução geral do sistema:
Resolva a equação diferencial não homogênea:
Suponha que
e
.