Use o método de variação de parâmetros para resolver a equação:

Passo 1

Vamos resolver a equação diferencial de segunda ordem:
Utilizaremos o método de variação de parâmetros, que é uma técnica para encontrar soluções particulares de equações diferenciais não homogêneas. Para isso, precisaremos primeiro encontrar a solução da equação homogênea associada.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea:
Para isso, encontramos as raízes da equação característica:
Resolvendo a equação quadrática:
Assim, as raízes são:
Portanto, a solução geral da equação homogênea é:
onde e são constantes arbitrárias.

Passo 3

Agora, vamos encontrar uma solução particular da equação não homogênea usando o método de variação de parâmetros. A ideia é assumir que as constantes e na solução homogênea são, na verdade, funções de :
Para encontrar e , precisamos resolver o seguinte sistema:
Subtraindo a primeira equação da segunda:
Integrando:
é
Substituindo na primeira equação:
Integrando:
Portanto, a solução particular é:

Passo 4

Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:
Podemos também escrever de forma simplificada agrupando os termos com :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde e são constantes arbitrárias.

Exercícios relacionados

Verifique se a seguinte equação é exata e, se for, resolva-a:
Resolva a seguinte equação diferencial utilizando separação de variáveis:
Suponha que .
Encontre a solução geral do sistema:
Resolva a equação diferencial não homogênea:
Suponha que e .