Mostre que
diverge para o ponto
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos mostrar que a derivada da função
em relação a
diverge no ponto
. Aqui,
é a função degrau de Heaviside, que é uma função muito usada em matemática e física para representar mudanças bruscas, como o ligar ou desligar de algo.
Passo 2
Vamos lembrar o que significa derivar uma função. A derivada de uma função em um ponto nos dá a inclinação da reta tangente à curva da função naquele ponto. No caso da função
, queremos encontrar essa derivada.
Passo 3
A função degrau de Heaviside é definida da seguinte maneira:
Isso significa que a função salta de 0 para 1 exatamente no ponto
.
Passo 4
Quando tentamos derivar
, estamos buscando a taxa de variação dessa função. Porém, como a função faz um salto brusco de 0 para 1 em
, essa taxa de variação não é finita. Na matemática, isso é representado pela função delta de Dirac,
, que é uma distribuição que “pico” infinitamente alto no ponto
.
Passo 5
Portanto, a derivada de
é:
Essa expressão indica que a derivada “diverge”, ou seja, se torna infinitamente grande, exatamente no ponto
.
Resposta
A derivada de
em relação a
diverge no ponto
, sendo representada pela função delta de Dirac
.