Mostre que
d/dx theta(x - x0)
diverge para o ponto x = x0

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos mostrar que a derivada da função em relação a x diverge no ponto . Aqui, é a função degrau de Heaviside, que é uma função muito usada em matemática e física para representar mudanças bruscas, como o ligar ou desligar de algo.

Passo 2

Vamos lembrar o que significa derivar uma função. A derivada de uma função em um ponto nos dá a inclinação da reta tangente à curva da função naquele ponto. No caso da função , queremos encontrar essa derivada.

Passo 3

A função degrau de Heaviside é definida da seguinte maneira:
Isso significa que a função salta de 0 para 1 exatamente no ponto .

Passo 4

Quando tentamos derivar , estamos buscando a taxa de variação dessa função. Porém, como a função faz um salto brusco de 0 para 1 em , essa taxa de variação não é finita. Na matemática, isso é representado pela função delta de Dirac, , que é uma distribuição que “pico” infinitamente alto no ponto .

Passo 5

Portanto, a derivada de é:
Essa expressão indica que a derivada “diverge”, ou seja, se torna infinitamente grande, exatamente no ponto .

Resposta

A derivada de em relação a x diverge no ponto , sendo representada pela função delta de Dirac .

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