Encontre uma solução numérica da equação x ln (x)=1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação que a gente precisa resolver numericamente. Isso envolve matéria de funções e métodos numéricos, que são técnicas para encontrar soluções aproximadas quando não dá pra resolver de jeito exato. Para resolver isso, vamos usar o método de Newton-Raphson, que é uma forma eficiente de achar raízes de equações.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o método de Newton-Raphson. Ele é uma técnica iterativa que nos ajuda a aproximar a solução de uma equação . A ideia é começar com um palpite inicial e refinar esse palpite passo a passo até chegar perto do valor real. Precisamos da função e da sua derivada .

Passo 3

No nosso caso, queremos resolver . Vamos reescrever isso como . Agora, precisamos encontrar a derivada dessa função. A derivada de é (usando a regra do produto e a derivada de ).

Passo 4

Escolhemos um valor inicial para xn+1 = xn - f(xn)f'(xn) . Vamos começar com f(2) = 2 ln(2) - 1 approx 2 times 0.6931 - 1 = 1.3862 - 1 = 0.3862 . Agora, aplicamos a fórmula de Newton-Raphson:
f'(2) = ln(2) + 1 approx 0.6931 + 1 = 1.6931
Vamos calcular e :

Passo 5

Agora, atualizamos x1 = 2 - 0.38621.6931 approx 2 - 0.228 approx 1.772 usando a fórmula:
Esse é o nosso novo palpite, .

Passo 6

Vamos repetir o processo com f(1.772) = 1.772 ln(1.772) - 1 approx 1.772 times 0.570 - 1 = 1.010 - 1 = 0.010 . Calculamos f'(1.772) = ln(1.772) + 1 approx 0.570 + 1 = 1.570 e :

Passo 7

Atualizamos novamente:
x2 = 1.772 - 0.0101.570 approx 1.772 - 0.0064 approx 1.766
Agora temos .

Passo 8

Vamos verificar se já está bem perto. Calculamos f(1.766) = 1.766 ln(1.766) - 1 approx 1.766 times 0.569 - 1 = 1.006 - 1 = 0.006 :
Como o valor está bem próximo de zero, podemos parar por aqui ou fazer mais uma iteração para maior precisão.

Resposta

A solução numérica da equação é aproximadamente .

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