Encontre uma solução numérica da equação x^2+2 x(ln (x)-1)=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação numericamente. A matéria que vamos usar aqui é Métodos Numéricos, especificamente o Método de Newton-Raphson. Para isso, precisamos saber derivar a função e escolher um ponto inicial para começar a buscar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos definir a função que queremos resolver:
f(x) = x^2 + 2x(ln(x) - 1)
Queremos encontrar o valor de que faz .

Passo 3

Para aplicar o Método de Newton-Raphson, precisamos da derivada da função. Vamos derivar f'(x) = 2x + 2(ln(x) - 1) + 2x cdot 1x em relação a f'(x) = 2x + 2ln(x) - 2 + 2 = 2x + 2ln(x) :
Simplificando:

Passo 4

Escolhemos um palpite inicial . Olhando para a função, vamos tentar .

Passo 5

Aplicamos a fórmula do Método de Newton-Raphson:
x1 = x0 - f(x0)f'(x0)
Calculando f(1) = 1^2 + 2(1)(ln(1) - 1) = 1 + 2(0 - 1) = 1 - 2 = -1 e f'(1) = 2(1) + 2ln(1) = 2 + 0 = 2 :
x1 = 1 - -12 = 1 + 0,5 = 1,5
Então:

Passo 6

Vamos repetir o processo com f(1,5) = (1,5)^2 + 2(1,5)(ln(1,5) - 1) :
f(1,5) approx 2,25 + 3(ln(1,5) - 1) approx 2,25 + 3(0,4055 - 1) approx 2,25 + 3(-0,5945) approx 2,25 - 1,7835 approx 0,4665
Calculando:
f'(1,5) = 2(1,5) + 2ln(1,5) approx 3 + 2(0,4055) approx 3 + 0,811 approx 3,811
x2 = 1,5 - 0,46653,811 approx 1,5 - 0,1223 approx 1,3777
Então:

Passo 7

Vamos calcular mais uma vez com f(1,3777) approx (1,3777)^2 + 2(1,3777)(ln(1,3777) - 1) approx 1,8977 + 2,7554(0,3170 - 1) approx 1,8977 + 2,7554(-0,6830) approx 1,8977 - 1,8800 approx 0,0177 :
f'(1,3777) = 2(1,3777) + 2ln(1,3777) approx 2,7554 + 2(0,3170) approx 2,7554 + 0,6340 approx 3,3894
x3 = 1,3777 - 0,01773,3894 approx 1,3777 - 0,0052 approx 1,3725
Então:

Passo 8

Vamos verificar f(1,3725) approx (1,3725)^2 + 2(1,3725)(ln(1,3725) - 1) approx 1,8842 + 2,7450(0,3170 - 1) approx 1,8842 + 2,7450(-0,6830) approx 1,8842 - 1,8724 approx 0,0118 :
f'(1,3725) approx 2,7450 + 2(0,3170) approx 2,7450 + 0,6340 approx 3,3790
x4 = 1,3725 - 0,01183,3790 approx 1,3725 - 0,0035 approx 1,3690
Então:

Resposta

A solução numérica aproximada da equação é .

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