Sejam e constantes. Considere o P.V.I.
Mostre que , quando .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me trouxe um problema de Equações Diferenciais, mais especificamente um P.V.I. (Problema de Valor Inicial). A ideia aqui é resolver essa equação para encontrar como a função se comporta com o tempo . Para isso, vamos precisar utilizar técnicas de resolução de equações diferenciais de primeira ordem e entender um pouquinho sobre limites para mostrar o comportamento de quando vai para o infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial que temos:
Aqui, , e são constantes. Nosso objetivo é encontrar a solução geral dessa equação.

Passo 3

Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Podemos colocá-la na forma padrão:
Para resolver, vamos usar o fator integrante. Calculamos o fator integrante como:

Passo 4

Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante:
Perceba que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto :

Passo 5

Integrando ambos os lados em relação a :
A integral do lado direito é:
Então temos:

Passo 6

Dividindo ambos os lados por para isolar :
Agora, usamos a condição inicial para encontrar a constante :
Portanto, a solução geral fica:

Passo 7

Agora, queremos mostrar que tende a quando vai para mais infinito. Olhando para a expressão da solução:
Note que o termo tende a zero quando tende ao infinito, já que a exponencial negativa faz com que o termo desapareça.

Resposta

Portanto, quando , temos:

Exercícios relacionados

Sejam e constantes. Considere o P.V.I.
Mostre que , quando .
(Lei de Resfriamento de Newton ) Determine a solução do P.V.I…
onde é uma constante e uma constante positiva. Conclua que , quando . Faça uma análise gráfica deste modelo.
Encontre a solução do P.V.I. dado:
A equação diferencial para a velocidade de uma massa em queda sujeita à resistencia do ar proporcional à velocidade instantânea é
(a) Resolva a equação sujeita à condição inicial .