Beleza, vamos lá! Você me trouxe um problema de Equações Diferenciais, mais especificamente um P.V.I. (Problema de Valor Inicial). A ideia aqui é resolver essa equação para encontrar como a função se comporta com o tempo . Para isso, vamos precisar utilizar técnicas de resolução de equações diferenciais de primeira ordem e entender um pouquinho sobre limites para mostrar o comportamento de quando vai para o infinito.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial que temos:
Aqui, , e são constantes. Nosso objetivo é encontrar a solução geral dessa equação.
Passo 3
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Podemos colocá-la na forma padrão:
Para resolver, vamos usar o fator integrante. Calculamos o fator integrante como:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante:
Perceba que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto :
Passo 5
Integrando ambos os lados em relação a :
A integral do lado direito é:
Então temos:
Passo 6
Dividindo ambos os lados por para isolar :
Agora, usamos a condição inicial para encontrar a constante :
Portanto, a solução geral fica:
Passo 7
Agora, queremos mostrar que tende a quando vai para mais infinito. Olhando para a expressão da solução:
Note que o termo tende a zero quando tende ao infinito, já que a exponencial negativa faz com que o termo desapareça.