Sejam e constantes. Considere o P.V.I.
Mostre que , quando .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos dá uma equação diferencial com uma condição inicial e pede para mostrarmos que, quando o tempo tende ao infinito, a quantidade vai para zero. Isso envolve o conteúdo de Equações Diferenciais Ordinárias (EDO), mais especificamente EDO de primeira ordem. Vamos precisar resolver essa equação para encontrar e analisar o seu comportamento conforme cresce.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação diferencial que temos:
Essa é uma EDO de primeira ordem e é linear, pois aparece apenas na primeira potência e não está multiplicada por ou outras funções.

Passo 3

Para resolver essa equação, podemos usar o método de separação de variáveis. Isso significa que vamos reorganizar a equação para que todos os termos com fiquem de um lado e os termos com do outro:
Agora, integramos ambos os lados:
Isso resulta em:
onde é a constante de integração.

Passo 4

Para resolver para , vamos expor ambos os lados:
Podemos simplificar como uma nova constante :
Agora, aplicamos a condição inicial :
Então, a solução fica:

Passo 5

Agora, vamos analisar o comportamento de quando tende ao infinito:
Como o expoente se torna cada vez mais negativo conforme aumenta, tende a zero. Portanto, também tende a zero.

Resposta

Então, mostramos que quando .

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