Beleza, vamos lá! A questão nos dá uma equação diferencial com uma condição inicial e pede para mostrarmos que, quando o tempo tende ao infinito, a quantidade vai para zero. Isso envolve o conteúdo de Equações Diferenciais Ordinárias (EDO), mais especificamente EDO de primeira ordem. Vamos precisar resolver essa equação para encontrar e analisar o seu comportamento conforme cresce.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação diferencial que temos:
Essa é uma EDO de primeira ordem e é linear, pois aparece apenas na primeira potência e não está multiplicada por ou outras funções.
Passo 3
Para resolver essa equação, podemos usar o método de separação de variáveis. Isso significa que vamos reorganizar a equação para que todos os termos com fiquem de um lado e os termos com do outro:
Agora, integramos ambos os lados:
Isso resulta em:
onde é a constante de integração.
Passo 4
Para resolver para , vamos expor ambos os lados:
Podemos simplificar como uma nova constante :
Agora, aplicamos a condição inicial :
Então, a solução fica:
Passo 5
Agora, vamos analisar o comportamento de quando tende ao infinito:
Como o expoente se torna cada vez mais negativo conforme aumenta, tende a zero. Portanto, também tende a zero.