Encontre a solução particular determinada pela condição inicial dada. (y^2 e^(x y^2) + 4 x^3) dx + (2 x y e^(x y^2) - 3 y^2) dy = 0, y(1) = 0

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui é uma equação diferencial que envolve e . A gente precisa encontrar uma solução específica para essa equação que passa pelo ponto onde e . Para resolver isso, vamos precisar entender sobre equações diferenciais exatas e como encontrar integrais de potências.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a equação é exata. Uma equação diferencial da forma é exata se a derivada parcial de em relação a for igual à derivada parcial de em relação a .
Aqui, temos:
Vamos calcular as derivadas parciais:
Como , a equação é exata.

Passo 3

Como a equação é exata, existe uma função tal que:
Vamos encontrar integrando em relação a :
Aqui, é uma função que depende apenas de .

Passo 4

Agora, vamos derivar em relação a e igualar a :
Igualando a :
Integrando :
Onde é uma constante.

Passo 5

Substituindo de volta em :
A solução geral da equação diferencial é:

Passo 6

Agora, vamos usar a condição inicial para encontrar a constante :

Resposta

A solução particular que satisfaz a condição inicial é:

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