Encontre a solução particular determinada pela condição inicial dada.
Passo 1
Então, o que a gente tem aqui é uma equação diferencial que envolve
e
. A gente precisa encontrar uma solução específica para essa equação que passa pelo ponto onde
e
. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre equações diferenciais exatas e como encontrar integrais de potências.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a equação é exata. Uma equação diferencial da forma
é exata se a derivada parcial de
em relação a
for igual à derivada parcial de
em relação a
.
Aqui, temos:
Vamos calcular as derivadas parciais:
Como
, a equação é exata.
Passo 3
Como a equação é exata, existe uma função
tal que:
Vamos encontrar
integrando
em relação a
:
Aqui,
é uma função que depende apenas de
.
Passo 4
Agora, vamos derivar
em relação a
e igualar a
:
Igualando a
:
Integrando
:
Onde
é uma constante.
Passo 5
Substituindo
de volta em
:
A solução geral da equação diferencial é:
Passo 6
Agora, vamos usar a condição inicial
para encontrar a constante
:
Resposta
A solução particular que satisfaz a condição inicial é: