(1,0 ponto) Mostre que a função f definida por f(x) = { 3 - x^2, se x <= 1; 1 + x^2, se x > 1 }. é contínua em x = 1.

Passo 1

Vamos analisar a função definida por:
O objetivo é mostrar que é contínua em . Para isso, vamos utilizar o conceito de continuidade de uma função em um ponto, que envolve calcular os limites laterais e verificar se eles são iguais ao valor da função no ponto considerado.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o limite da função quando se aproxima de 1 pela esquerda, ou seja, .
Como , usamos a expressão :

Passo 3

Agora, vamos calcular o limite da função quando se aproxima de 1 pela direita, ou seja, .
Como , usamos a expressão :

Passo 4

Em seguida, verificamos o valor da função exatamente em :

Passo 5

Para a função ser contínua em , os três valores calculados devem ser iguais:
Como todos são iguais a 2, podemos concluir que a função é contínua em .

Resposta

A função é contínua em .

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