Encontre a solução particular determinada pela condição inicial dada. e^x (y^3 + x y^3 + 1) dx + 3 y^2 (x e^x - 6) dy = 0, y(0) = 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado nos dá uma equação do tipo exprimir da forma e uma condição inicial . Vamos precisar usar o método das equações exatas para encontrar a solução particular dessa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções e na equação:

Passo 3

Vamos verificar se a equação é exata. Para isso, calculamos as derivadas parciais:
Observamos que:
Então, a equação é exata.

Passo 4

Como a equação é exata, existe uma função tal que:
Integrando em relação a :
Onde é uma função de que precisamos determinar.

Passo 5

Agora, derivamos em relação a e igualamos a :
Igualando os termos:
Integrando em relação a :

Passo 6

Agora, temos a função potencial :
A solução geral é , então:

Passo 7

Aplicamos a condição inicial para encontrar a constante :

Resposta

A solução particular é:

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