Encontre a solução particular determinada pela condição inicial dada.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado nos dá uma equação do tipo exprimir da forma
e uma condição inicial
. Vamos precisar usar o método das equações exatas para encontrar a solução particular dessa equação.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as funções
e
na equação:
Passo 3
Vamos verificar se a equação é exata. Para isso, calculamos as derivadas parciais:
Observamos que:
Então, a equação é exata.
Passo 4
Como a equação é exata, existe uma função
tal que:
Integrando
em relação a
:
Onde
é uma função de
que precisamos determinar.
Passo 5
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Igualando os termos:
Integrando em relação a
:
Passo 6
Agora, temos a função potencial
:
A solução geral é
, então:
Passo 7
Aplicamos a condição inicial
para encontrar a constante
:
Resposta
A solução particular é:
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(2,0 pontos) Calcule, se existir, o valor do limite:
(1,0 ponto) Resolva a integral
.
(1,0 ponto) Mostre que a função
definida por
. é contínua em
.
Encontre a solução particular determinada pela condição inicial dada.