Encontre a solução particular determinada pela condição inicial dada.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma equação diferencial do tipo com a condição inicial . Nosso objetivo é encontrar a solução específica que satisfaz essa condição. Para isso, vamos precisar usar métodos de equações diferenciais de primeira ordem, especialmente verificando se a equação é exata ou se precisamos de um fator integrante.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções que multiplicam e na equação:
Uma equação diferencial é exata se a derivada parcial de em relação a for igual à derivada parcial de em relação a . Vamos checar isso:
Como , a equação não é exata. Então, precisamos encontrar um fator integrante que torne a equação exata.

Passo 3

Vamos tentar encontrar um fator integrante que dependa de ou de . Para isso, calculamos:
Esse resultado depende de , ou seja, não é uma função apenas de ou apenas de . Isso sugere que podemos usar uma substituição para simplificar a equação. Vamos definir:

Passo 4

Com , derivando ambos os lados em relação a temos:
A partir da equação diferencial original, podemos isolar :
Substituindo na derivada de :

Passo 5

Agora, temos uma equação diferencial em termos de :
Essa equação é separável. Vamos separar as variáveis:
Para integrar o lado esquerdo, vamos decompor a fração:

Passo 6

Agora, integramos ambos os lados:
Calculando as integrais:
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Substituímos de volta na equação:
Simplificando:
Subtraindo de ambos os lados:

Passo 8

Agora, aplicamos a condição inicial para encontrar o valor de :
Substituindo e :

Resposta

A solução particular que satisfaz a condição inicial é:

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