Encontre a solução particular determinada pela condição inicial dada.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma equação diferencial do tipo
com a condição inicial
. Nosso objetivo é encontrar a solução específica que satisfaz essa condição. Para isso, vamos precisar usar métodos de equações diferenciais de primeira ordem, especialmente verificando se a equação é exata ou se precisamos de um fator integrante.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as funções que multiplicam
e
na equação:
Uma equação diferencial é exata se a derivada parcial de
em relação a
for igual à derivada parcial de
em relação a
. Vamos checar isso:
Como
, a equação não é exata. Então, precisamos encontrar um fator integrante que torne a equação exata.
Passo 3
Vamos tentar encontrar um fator integrante que dependa de
ou de
. Para isso, calculamos:
Esse resultado depende de
, ou seja, não é uma função apenas de
ou apenas de
. Isso sugere que podemos usar uma substituição para simplificar a equação. Vamos definir:
Passo 4
Com
, derivando ambos os lados em relação a
temos:
A partir da equação diferencial original, podemos isolar
:
Substituindo na derivada de
:
Passo 5
Agora, temos uma equação diferencial em termos de
:
Essa equação é separável. Vamos separar as variáveis:
Para integrar o lado esquerdo, vamos decompor a fração:
Passo 6
Agora, integramos ambos os lados:
Calculando as integrais:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Substituímos
de volta na equação:
Simplificando:
Subtraindo
de ambos os lados:
Passo 8
Agora, aplicamos a condição inicial
para encontrar o valor de
:
Substituindo
e
:
Resposta
A solução particular que satisfaz a condição inicial
é:
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Transforme a integral
de coordenadas polares para coordenadas cartesianas, tomando:
como variável independente.
Resolva as seguintes desigualdades:
a)
a)
Verifique se a função é par ou ímpar. e)
Resolva as equações exponenciais: f)