Transforme a integral
de coordenadas polares para coordenadas cartesianas, tomando:
como variável independente.
Passo 1
E aí! Vamos transformar uma integral de coordenadas polares para cartesianas. O exercício nos dá a integral
e pede para fazer essa mudança de coordenadas, usando
como variável independente. Isso envolve entender como as coordenadas polares se relacionam com as cartesianas e ajustar os limites de integração e a função integranda conforme necessário.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como converter de coordenadas polares para cartesianas. As relações são:
Além disso, em coordenadas cartesianas, o elemento de área
em polares é
, mas vamos precisar ajustar isso na conversão.
Passo 3
Vamos analisar os limites de integração. Em polares,
varia de 0 a 1, e
varia de
a
. Convertendo para cartesianas com
como variável independente, precisamos expressar
em função de
.
Passo 4
Para expressar
em função de
, usamos
e
. Como
é a variável independente, vamos resolver
e
em termos de
:
Mas como
varia de
a
, podemos reescrever os limites de
e
.
Passo 5
Vamos desenhar a região de integração. Quando
, a linha é
, e quando
, a linha é
. O raio
vai de 0 a 1, então a região é um setor de círculo com raio 1 entre essas duas linhas.
Passo 6
Em cartesianas,
varia de 0 a
(já que
e
). Para cada
,
varia de 0 até
(porque
na linha
).
Passo 7
Agora, vamos converter a função integranda
. Sabemos que
, então:
Também precisamos ajustar o elemento de área. Em cartesianas,
.
Passo 8
Juntando tudo, a integral em coordenadas cartesianas fica:
Resposta
A integral transformada em coordenadas cartesianas, com
como variável independente, é:
Exercícios relacionados
Resolva as seguintes desigualdades:
a)
a)
Determine
se: b)
Encontre a solução particular determinada pela condição inicial dada.
Verifique se a função é par ou ímpar. e)