Transforme a integral de coordenadas polares para coordenadas cartesianas, tomando: como variável independente.

Passo 1

E aí! Vamos transformar uma integral de coordenadas polares para cartesianas. O exercício nos dá a integral e pede para fazer essa mudança de coordenadas, usando como variável independente. Isso envolve entender como as coordenadas polares se relacionam com as cartesianas e ajustar os limites de integração e a função integranda conforme necessário.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como converter de coordenadas polares para cartesianas. As relações são:
Além disso, em coordenadas cartesianas, o elemento de área em polares é , mas vamos precisar ajustar isso na conversão.

Passo 3

Vamos analisar os limites de integração. Em polares, varia de 0 a 1, e varia de a . Convertendo para cartesianas com como variável independente, precisamos expressar em função de .

Passo 4

Para expressar em função de , usamos e . Como é a variável independente, vamos resolver e em termos de :
Mas como varia de a , podemos reescrever os limites de e .

Passo 5

Vamos desenhar a região de integração. Quando , a linha é , e quando , a linha é . O raio vai de 0 a 1, então a região é um setor de círculo com raio 1 entre essas duas linhas.

Passo 6

Em cartesianas, varia de 0 a (já que e ). Para cada , varia de 0 até (porque na linha ).

Passo 7

Agora, vamos converter a função integranda . Sabemos que , então:
Também precisamos ajustar o elemento de área. Em cartesianas, .

Passo 8

Juntando tudo, a integral em coordenadas cartesianas fica:

Resposta

A integral transformada em coordenadas cartesianas, com como variável independente, é:

Exercícios relacionados

Resolva as seguintes desigualdades:
a)
Determine se: b)
Encontre a solução particular determinada pela condição inicial dada.
Verifique se a função é par ou ímpar. e)