Faça um esboço das superfícies
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Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para fazer um esboço de várias superfícies definidas por equações diferentes. A matéria envolvida aqui é Geometria Analítica no espaço tridimensional. Para isso, vamos precisar identificar que tipo de superfície cada equação representa, como cilindros, paraboloides, elipsóides, hiperboloides, entre outros. Vamos analisar cada item um por um!

Passo 2

a)
Essa equação é um cilindro circular. Por quê? Porque ela envolve apenas e , e não . Isso significa que, para qualquer valor de , a equação descreve um círculo com raio 2 no plano . Então, esse cilindro se estende infinitamente ao longo do eixo .

Passo 3

b)
Aqui, temos uma parábola em três dimensões. A equação mostra que depende de . Isso forma um paraboloide que abre para cima ao longo do eixo . O vértice dessa superfície está no ponto .

Passo 4

c)
Essa equação representa um elipsóide circular. Dividindo tudo por 16, fica . Isso indica que no plano , temos uma elipse com semi-eixos de 4 (em ) e 2 (em ). No eixo , a superfície se expande infinitamente, formando um cilindro elíptico.

Passo 5

d)
Esta é a equação de um hiperboloide de uma folha. Ela se abre ao longo do eixo . Para cada valor de , temos uma hipérbole no plano . Essa superfície se parece com duas folhas conectadas pelo “corpo” central.

Passo 6

e)
Dividindo tudo por 36, temos . Isso é um elipsóide, uma espécie de esfera alongada ou achatada dependendo dos coeficientes. Aqui, os semi-eixos são 3 em , 2 em e 3 em .

Passo 7

f)
Essa é a equação de um paraboloide de revolução que abre para baixo. O termo indica que a superfície é simétrica em relação ao eixo , e o vértice está no ponto .

Passo 8

g)
Podemos reescrever como . Isso descreve um paraboloide hiperbólico, também conhecido como sela. A superfície tem curvas que se abrem em direções opostas, parecendo uma sela de cavalo.

Passo 9

h)
Essa é a equação de um hiperboloide de duas folhas. Ela se abre ao longo do eixo , criando duas “folhas” separadas acima e abaixo do plano . Para cada valor de , há uma hipérbole no plano .

Resposta

Resumindo, esboçamos diferentes superfícies como cilindros, paraboloides, elipsóides e hiperboloides, identificando suas características principais e orientações no espaço tridimensional com base nas equações fornecidas.

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