Prove as seguintes identidades: e) (1 + sen(2 * alpha) + cos(2 * alpha)) / (1 + sen(2 * alpha) - cos(2 * alpha)) = cot(alpha)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar uma identidade trigonométrica:
Vamos usar conhecimentos de identidades trigonométricas, especialmente as fórmulas de seno e cosseno do ângulo dobrado, para chegar na resposta.

Passo 2

Primeiro, lembramos das fórmulas do ângulo dobrado:
Vamos substituir essas fórmulas na expressão original.

Passo 3

Substituindo na expressão:
Simplificando o numerador e o denominador:
No numerador:
No denominador:

Passo 4

Agora, fatorando os termos:
Numerador:
Denominador:
Observamos que podemos simplificar o 2 presente em ambos.

Passo 5

Simplificando a fração:
Vamos reescrever o denominador para facilitar:
Então, a expressão fica:

Passo 6

Agora, percebemos que podemos fatorar no denominador:
Assim, a fração fica:
Cancelando em cima e embaixo:

Resposta

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