Encontre a solução particular xp(t) da equação do oscilador amortecido e forçado, utilizando uma solução complexa da forma z(t) = Ce^iomega t.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a solução particular $ x_p(t) $ da equação do oscilador amortecido e forçado usando uma solução complexa da forma $ z(t) = Ce^{i\omega t} $. Isso envolve trabalhar com equações diferenciais de segunda ordem que descrevem sistemas oscilatórios com resistência (amortecimento) e uma força externa aplicada. Para resolver, vamos precisar usar métodos de equações diferenciais lineares, números complexos e propriedades de funções exponenciais e trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a forma geral da equação do oscilador amortecido e forçado:
m x''(t) + b x'(t) + k x(t) = F0 e^i omega t
Aqui:
  • $ m $ é a massa,
  • $ b $ é o coeficiente de amortecimento,
  • $ k $ é a constante elástica,
  • $ F_0 e^{i \omega t} $ representa a força externa aplicada de forma complexa.

Passo 3

Nosso objetivo é encontrar uma solução particular $ x_p(t) $ para essa equação. Vamos assumir uma solução da forma $ z(t) = C e^{i \omega t} $, onde $ C $ é uma constante complexa que precisamos determinar. A ideia é substituir $ z(t) $ na equação diferencial e resolver para $ C $.

Passo 4

Vamos calcular as derivadas de $ z(t) $:
z(t)
z'(t) = i omega C e^i omega t

Passo 5

Substituindo $ z(t) $, $ z’(t) $ e $ z’’(t) $ na equação do oscilador:
z(t)

Passo 6

Fatorando $ C e^{i \omega t} $ em todo o lado esquerdo da equação:
C e^i omega t

Passo 7

Podemos dividir ambos os lados por $ e^{i \omega t} $ (que não é zero):
e^i omega t

Passo 8

Agora, isolamos $ C $:
C

Passo 9

Simplificamos a expressão de $ C $:
C

Passo 10

A solução particular $ x_p(t) $ é a parte real de $ z(t) = C e^{i \omega t} $. Portanto:
xp(t)

Resposta

A solução particular é
xp(t) = F0raiz(k - m omega^2)^2 + (b omega)^2 cos(omega t - phi)
onde $ \phi = \arctan\left(\frac{b \omega}{k - m \omega^2}\right) $.

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