Encontre a solução particular
da equação do oscilador amortecido e forçado, utilizando uma solução complexa da forma
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a solução particular $ x_p(t) $ da equação do oscilador amortecido e forçado usando uma solução complexa da forma $ z(t) = Ce^{i\omega t} $. Isso envolve trabalhar com equações diferenciais de segunda ordem que descrevem sistemas oscilatórios com resistência (amortecimento) e uma força externa aplicada. Para resolver, vamos precisar usar métodos de equações diferenciais lineares, números complexos e propriedades de funções exponenciais e trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a forma geral da equação do oscilador amortecido e forçado:
Aqui:
- $ m $ é a massa,
- $ b $ é o coeficiente de amortecimento,
- $ k $ é a constante elástica,
- $ F_0 e^{i \omega t} $ representa a força externa aplicada de forma complexa.
Passo 3
Nosso objetivo é encontrar uma solução particular $ x_p(t) $ para essa equação. Vamos assumir uma solução da forma $ z(t) = C e^{i \omega t} $, onde $ C $ é uma constante complexa que precisamos determinar. A ideia é substituir $ z(t) $ na equação diferencial e resolver para $ C $.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas de $ z(t) $:
Passo 5
Substituindo $ z(t) $, $ z’(t) $ e $ z’’(t) $ na equação do oscilador:
Passo 6
Fatorando $ C e^{i \omega t} $ em todo o lado esquerdo da equação:
Passo 7
Podemos dividir ambos os lados por $ e^{i \omega t} $ (que não é zero):
Passo 8
Agora, isolamos $ C $:
Passo 9
Simplificamos a expressão de $ C $:
Passo 10
A solução particular $ x_p(t) $ é a parte real de $ z(t) = C e^{i \omega t} $. Portanto:
Resposta
A solução particular é
onde $ \phi = \arctan\left(\frac{b \omega}{k - m \omega^2}\right) $.