Explicite a constante complexa
em termos de
,
,
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para explicitar a constante complexa $ C $ em termos de $ \omega_0 $ (a frequência natural), $ \gamma $ (o coeficiente de amortecimento), $ F_0 $ (a força externa) e $ m $ (a massa). Isso está relacionado ao estudo de sistemas oscilatórios forçados com amortecimento, onde usamos números complexos para simplificar a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que num sistema oscilatório forçado com amortecimento, a equação diferencial que descreve o movimento é:
Aqui, $ \ddot{x} $ é a aceleração, $ \dot{x} $ é a velocidade, e $ x $ é o deslocamento.
Passo 3
A solução dessa equação procura uma resposta particular da forma $ x_p(t) = C e^{i\omega t} $, onde $ C $ é a constante complexa que queremos encontrar. Substituindo $ x_p(t) $ na equação diferencial:
Passo 4
Vamos simplificar a equação acima:
Podemos dividir ambos os lados por $ e^{i\omega t} $ (que não é zero):
Passo 5
Agora, isolamos $ C $:
Passo 6
Podemos fatorar $ m $ no denominador:
Resposta
A constante complexa $ C $ é dada por: