Explicite a constante complexa C em termos de omega0, gamma, F0 e m.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para explicitar a constante complexa $ C $ em termos de $ \omega_0 $ (a frequência natural), $ \gamma $ (o coeficiente de amortecimento), $ F_0 $ (a força externa) e $ m $ (a massa). Isso está relacionado ao estudo de sistemas oscilatórios forçados com amortecimento, onde usamos números complexos para simplificar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que num sistema oscilatório forçado com amortecimento, a equação diferencial que descreve o movimento é:
mddotx + mgammadotx + momega0^2 x = F0 e^iomega t
Aqui, $ \ddot{x} $ é a aceleração, $ \dot{x} $ é a velocidade, e $ x $ é o deslocamento.

Passo 3

A solução dessa equação procura uma resposta particular da forma $ x_p(t) = C e^{i\omega t} $, onde $ C $ é a constante complexa que queremos encontrar. Substituindo $ x_p(t) $ na equação diferencial:
xp(t) = C e^iomega t

Passo 4

Vamos simplificar a equação acima:
(-momega^2 + i mgammaomega + momega0^2) C e^iomega t = F0 e^iomega t
Podemos dividir ambos os lados por $ e^{i\omega t} $ (que não é zero):
e^iomega t

Passo 5

Agora, isolamos $ C $:
C

Passo 6

Podemos fatorar $ m $ no denominador:
m

Resposta

A constante complexa $ C $ é dada por:
C

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