Encontre a solução do problema
pelo método da separação de variáveis.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! O enunciado nos dá uma equação diferencial parcial (EDP) e uma condição inicial. A matéria que vamos usar é Equações Diferenciais Parciais, especificamente o método da separação de variáveis. Para resolver, vamos precisar entender como separar as variáveis na equação e aplicar a condição inicial para encontrar a solução geral.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a EDP que temos:
Aqui,
representa a derivada de
em relação ao tempo
, e
é a derivada de
em relação à posição
.
Passo 3
O método da separação de variáveis sugere que podemos escrever a solução
como o produto de duas funções, uma que depende apenas de
e outra que depende apenas de
. Vamos supor que:
Passo 4
Agora, vamos substituir
na equação diferencial:
Então, a equação fica:
Passo 5
Vamos rearranjar essa equação para separar as variáveis
e
:
Aqui,
é uma constante de separação. Isso nos dá duas equações ordinárias:
-
Para
: -
Para
:
Passo 6
Vamos resolver cada uma dessas equações separadamente.
Primeiro, para
:
A solução dessa equação diferencial é:
onde
é uma constante.
Passo 7
Agora, para
:
A solução dessa equação diferencial é:
onde
é outra constante.
Passo 8
Assim, combinando as soluções de
e
, a solução geral da EDP é:
onde
é uma constante.
Passo 9
Para encontrar a solução específica que satisfaz a condição inicial
, vamos substituir
na solução geral:
Isso implica que:
Passo 10
Comparando os expoentes, temos:
E, portanto:
Resposta
Substituindo
e
na solução geral, temos:
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Resolva o problema
Classifique as Equações Diferenciais seguindo os critérios de ordem e o grau:
Dada a sequência na forma
, encontrar
nos seguintes casos:
c)
c)
Encontre a solução do problema misto