Encontre a solução do problema pelo método da separação de variáveis.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! O enunciado nos dá uma equação diferencial parcial (EDP) e uma condição inicial. A matéria que vamos usar é Equações Diferenciais Parciais, especificamente o método da separação de variáveis. Para resolver, vamos precisar entender como separar as variáveis na equação e aplicar a condição inicial para encontrar a solução geral.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a EDP que temos:
Aqui, representa a derivada de em relação ao tempo , e é a derivada de em relação à posição .

Passo 3

O método da separação de variáveis sugere que podemos escrever a solução como o produto de duas funções, uma que depende apenas de e outra que depende apenas de . Vamos supor que:

Passo 4

Agora, vamos substituir na equação diferencial:
Então, a equação fica:

Passo 5

Vamos rearranjar essa equação para separar as variáveis e :
Aqui, é uma constante de separação. Isso nos dá duas equações ordinárias:
  1. Para :
  2. Para :

Passo 6

Vamos resolver cada uma dessas equações separadamente.
Primeiro, para :
A solução dessa equação diferencial é:
onde é uma constante.

Passo 7

Agora, para :
A solução dessa equação diferencial é:
onde é outra constante.

Passo 8

Assim, combinando as soluções de e , a solução geral da EDP é:
onde é uma constante.

Passo 9

Para encontrar a solução específica que satisfaz a condição inicial , vamos substituir na solução geral:
Isso implica que:

Passo 10

Comparando os expoentes, temos:
E, portanto:

Resposta

Substituindo e na solução geral, temos:

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Resolva o problema
Classifique as Equações Diferenciais seguindo os critérios de ordem e o grau:
Dada a sequência na forma , encontrar nos seguintes casos:
c)
Encontre a solução do problema misto