Encontre a solução do problema u_t = 4 u_x, u(x, 0) = 8 e^(-3 x) pelo método da separação de variáveis.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! O enunciado nos dá uma equação diferencial parcial (EDP) e uma condição inicial. A matéria que vamos usar é Equações Diferenciais Parciais, especificamente o método da separação de variáveis. Para resolver, vamos precisar entender como separar as variáveis na equação e aplicar a condição inicial para encontrar a solução geral.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a EDP que temos:
Aqui, representa a derivada de u em relação ao tempo t, e é a derivada de u em relação à posição x.

Passo 3

O método da separação de variáveis sugere que podemos escrever a solução u(x, t) como o produto de duas funções, uma que depende apenas de x e outra que depende apenas de t. Vamos supor que:

Passo 4

Agora, vamos substituir na equação diferencial:
Então, a equação fica:

Passo 5

Vamos rearranjar essa equação para separar as variáveis x e t:
Aqui, lambda é uma constante de separação. Isso nos dá duas equações ordinárias:
  1. Para T(t):
  2. Para :

Passo 6

Vamos resolver cada uma dessas equações separadamente.
Primeiro, para T(t):
A solução dessa equação diferencial é:
onde C é uma constante.

Passo 7

Agora, para :
A solução dessa equação diferencial é:
onde D é outra constante.

Passo 8

Assim, combinando as soluções de e T(t), a solução geral da EDP é:
onde é uma constante.

Passo 9

Para encontrar a solução específica que satisfaz a condição inicial , vamos substituir na solução geral:
Isso implica que:

Passo 10

Comparando os expoentes, temos:
E, portanto:

Resposta

Substituindo e na solução geral, temos:

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