Beleza, vamos resolver esse sistema de equações envolvendo uma equação diferencial parcial. O problema dado é:
Aqui estamos trabalhando com a equação da onda, que descreve como ondas se propagam no espaço e no tempo. Para resolver, vamos precisar usar a solução geral da equação da onda e aplicar as condições iniciais fornecidas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a solução geral da equação da onda:
Aqui, e são funções que vão ser determinadas usando as condições iniciais do problema.
Passo 3
Agora, vamos aplicar a primeira condição inicial, que é . Substituindo na solução geral:
Então, temos:
Passo 4
Em seguida, vamos usar a segunda condição inicial, que envolve a derivada de em relação ao tempo:
Primeiro, derivamos a solução geral em relação ao tempo:
Substituindo :
Dividindo ambos os lados por :
Passo 5
Agora, vamos resolver as equações que temos para e :
Primeira equação:
Segunda equação:
Podemos integrar a segunda equação para encontrar uma relação entre e .
Passo 6
Integrando a segunda equação:
Isso resulta em:
Onde é a constante de integração. Para simplificar, vamos assumir (já que as constantes serão absorvidas nas funções e ):
Passo 7
Agora vamos resolver o sistema de equações:
Somando as duas equações:
Subtraindo as equações:
Passo 8
Agora que temos e , podemos substituir de volta na solução geral:
Substituindo:
Passo 9
Simplificando a expressão, podemos fatorar os termos: