Resolva o problema

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações envolvendo uma equação diferencial parcial. O problema dado é:
Aqui estamos trabalhando com a equação da onda, que descreve como ondas se propagam no espaço e no tempo. Para resolver, vamos precisar usar a solução geral da equação da onda e aplicar as condições iniciais fornecidas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a solução geral da equação da onda:
Aqui, e são funções que vão ser determinadas usando as condições iniciais do problema.

Passo 3

Agora, vamos aplicar a primeira condição inicial, que é . Substituindo na solução geral:
Então, temos:

Passo 4

Em seguida, vamos usar a segunda condição inicial, que envolve a derivada de em relação ao tempo:
Primeiro, derivamos a solução geral em relação ao tempo:
Substituindo :
Dividindo ambos os lados por :

Passo 5

Agora, vamos resolver as equações que temos para e :
Primeira equação:
Segunda equação:
Podemos integrar a segunda equação para encontrar uma relação entre e .

Passo 6

Integrando a segunda equação:
Isso resulta em:
Onde é a constante de integração. Para simplificar, vamos assumir (já que as constantes serão absorvidas nas funções e ):

Passo 7

Agora vamos resolver o sistema de equações:
Somando as duas equações:
Subtraindo as equações:

Passo 8

Agora que temos e , podemos substituir de volta na solução geral:
Substituindo:

Passo 9

Simplificando a expressão, podemos fatorar os termos:

Resposta

A solução do problema é:

Exercícios relacionados

Classifique as Equações Diferenciais seguindo os critérios de ordem e o grau:
Mostre que:
Se então ou .
Encontre a solução do problema pelo método da separação de variáveis.
Dada a sequência na forma , encontrar nos seguintes casos:
c)