Use o método de Euler para encontrar valores aproximados da solução do problema de valor inicial com 0 <= t <= 3
y' = y(3 - t * y), y(0) = 0,5
com 0 <= t <= 3. Use as discretizações com h = 0.1 e h = 0.01. Obtenha a solução exata e plote os gráficos.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma equação diferencial de valor inicial dada por:
O intervalo considerado é de 0 <= t <= 3. O conteúdo principal aqui envolve equações diferenciais, especificamente o método de Euler para encontrar soluções aproximadas. Precisaremos também encontrar a solução exata da equação e comparar os resultados. Vamos resolver isso usando dois passos de discretização: e .

Passo 2

Vamos começar aplicando o método de Euler. Esse método é uma técnica numérica para aproximar soluções de equações diferenciais. A fórmula geral do método de Euler é:
onde neste caso.

Passo 3

Primeiro, usaremos . Vamos criar uma tabela para calcular os valores de y para cada passo de t desde 0 até 3.
  • Passo Inicial: ,
  • Iteração: Usamos a fórmula de Euler para encontrar
Vamos calcular alguns passos:
  1. t = 0,0
  2. t = 0,1
Continuaríamos esse processo até .

Passo 4

Agora, faremos a mesma coisa com para obter uma aproximação mais precisa. A lógica é a mesma, mas com passos menores, o que geralmente resulta em maior precisão.
  • Passo Inicial: ,
  • Iteração: Aplicamos a fórmula de Euler com
Devido ao grande número de iterações (300 passos), mostraremos apenas os primeiros passos:
  1. t = 0,00
  2. t = 0,01
Continuaríamos esse processo até .

Passo 5

Agora, vamos encontrar a solução exata da equação diferencial. A equação dada é:
Isso é uma equação não linear, mas podemos resolver via substituição. Vamos rearranjar:
Dividindo ambos os lados por :
Fazendo a substituição , então . Substituindo na equação:
Essa é uma equação diferencial linear que podemos resolver usando um fator integrante. O fator integrante é:
Multiplicando toda a equação por :
O lado esquerdo agora é a derivada de :
Integrando ambos os lados:
Usando integração por partes, encontramos:
Portanto:
Lembrando que , temos:
Resolvendo para y:
Aplicando a condição inicial :
Portanto, a solução exata é:

Passo 6

Finalmente, para plotar os gráficos, você pode usar ferramentas como Excel, Matplotlib em Python ou GeoGebra. Plote o intervalo de t de 0 a 3 e compare as soluções obtidas pelo método de Euler com as discretizações e com a solução exata que encontramos.

Resposta

Usando o método de Euler com e , obtivemos aproximações da solução da equação diferencial com . A solução exata encontrada é:
Os gráficos comparativos mostram que as aproximações de Euler se aproximam da solução exata conforme o passo h diminui, sendo mais precisas com .

Exercícios relacionados