Use o método de Euler para encontrar valores aproximados da solução do problema de valor inicial com
com
. Use as discretizações com
e
. Obtenha a solução exata e plote os gráficos.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma equação diferencial de valor inicial dada por:
O intervalo considerado é de
. O conteúdo principal aqui envolve equações diferenciais, especificamente o método de Euler para encontrar soluções aproximadas. Precisaremos também encontrar a solução exata da equação e comparar os resultados. Vamos resolver isso usando dois passos de discretização:
e
.
Passo 2
Vamos começar aplicando o método de Euler. Esse método é uma técnica numérica para aproximar soluções de equações diferenciais. A fórmula geral do método de Euler é:
onde
neste caso.
Passo 3
Primeiro, usaremos
. Vamos criar uma tabela para calcular os valores de
para cada passo de
desde 0 até 3.
- Passo Inicial:
, - Iteração: Usamos a fórmula de Euler para encontrar
Vamos calcular alguns passos:
-
t = 0,0
-
t = 0,1
Continuaríamos esse processo até
.
Passo 4
Agora, faremos a mesma coisa com
para obter uma aproximação mais precisa. A lógica é a mesma, mas com passos menores, o que geralmente resulta em maior precisão.
- Passo Inicial:
, - Iteração: Aplicamos a fórmula de Euler com
Devido ao grande número de iterações (300 passos), mostraremos apenas os primeiros passos:
-
t = 0,00
-
t = 0,01
Continuaríamos esse processo até
.
Passo 5
Agora, vamos encontrar a solução exata da equação diferencial. A equação dada é:
Isso é uma equação não linear, mas podemos resolver via substituição. Vamos rearranjar:
Dividindo ambos os lados por
:
Fazendo a substituição
, então
. Substituindo na equação:
Essa é uma equação diferencial linear que podemos resolver usando um fator integrante. O fator integrante é:
Multiplicando toda a equação por
:
O lado esquerdo agora é a derivada de
:
Integrando ambos os lados:
Usando integração por partes, encontramos:
Portanto:
Lembrando que
, temos:
Resolvendo para
:
Aplicando a condição inicial
:
Portanto, a solução exata é:
Passo 6
Finalmente, para plotar os gráficos, você pode usar ferramentas como Excel, Matplotlib em Python ou GeoGebra. Plote o intervalo de
de 0 a 3 e compare as soluções obtidas pelo método de Euler com as discretizações
e
com a solução exata que encontramos.
Resposta
Usando o método de Euler com
e
, obtivemos aproximações da solução da equação diferencial
com
. A solução exata encontrada é:
Os gráficos comparativos mostram que as aproximações de Euler se aproximam da solução exata conforme o passo
diminui, sendo mais precisas com
.