Use o Teste de Comparação por Limites para analisar a convergência das séries abaixo.
sumn=1^infty n^2 2^nn!

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente usar o Teste de Comparação por Limites para analisar se a série converge ou não. Esse teste é parte do conteúdo de séries infinitas e convergência de séries. Para resolver, vamos precisar comparar essa série com outra que a gente já conhece se ela converge ou diverge.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona o Teste de Comparação por Limites. A ideia é pegar a nossa série original limn to infty anbn = L e compará-la com outra série que sabemos se converge ou diverge. Calculamos o limite:
Se , então ambas as séries, e , convergem ou divergem juntas.

Passo 3

Agora, vamos escolher uma série para comparar com a nossa série original. Observando , percebemos que o termo cresce muito mais rápido que exponenciais ou polinomiais. Então, uma boa escolha para seria , que sabemos que converge (na verdade, é a expansão da série de ).

Passo 4

Vamos calcular o limite:
L = limn to infty n^2 2^nn!2^nn! = limn to infty n^2 = infty

Passo 5

O limite deu infinito, o que não se encaixa diretamente nas condições do Teste de Comparação por Limites. Porém, sabemos que significa que cresce sem limite, ou seja, é muito maior que para grandes valores de .

Passo 6

Como converge e cresce mais rápido que , isso indica que a série original também converge.

Resposta

A série converge pelo Teste de Comparação por Limites.

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