Use o Teste de Comparação por Limites para analisar a convergência das séries abaixo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente usar o Teste de Comparação por Limites para analisar se a série
converge ou não. Esse teste é parte do conteúdo de séries infinitas e convergência de séries. Para resolver, vamos precisar comparar essa série com outra que a gente já conhece se ela converge ou diverge.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funciona o Teste de Comparação por Limites. A ideia é pegar a nossa série original
e compará-la com outra série
que sabemos se converge ou diverge. Calculamos o limite:
Se
, então ambas as séries,
e
, convergem ou divergem juntas.
Passo 3
Agora, vamos escolher uma série
para comparar com a nossa série original. Observando
, percebemos que o termo
cresce muito mais rápido que exponenciais ou polinomiais. Então, uma boa escolha para
seria
, que sabemos que converge (na verdade, é a expansão da série de
).
Passo 4
Vamos calcular o limite:
Passo 5
O limite
deu infinito, o que não se encaixa diretamente nas condições do Teste de Comparação por Limites. Porém, sabemos que
significa que
cresce sem limite, ou seja,
é muito maior que
para grandes valores de
.
Passo 6
Como
converge e
cresce mais rápido que
, isso indica que a série original
também converge.
Resposta
A série
converge pelo Teste de Comparação por Limites.