Encontre a soluçâo do problema de valor inicial dado. Esboce o gráfico da solução e descreva seu comportamento quando
aumenta.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem:
com as condições iniciais:
Vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais lineares homogêneas e resolver isso passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos considerar a equação de igualdade para facilitar a resolução:
Essa é uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem. Para resolver, usamos a equação característica associada.
Passo 3
A equação característica é obtida substituindo
na equação diferencial. Isso nos dá:
Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de
.
Passo 4
Resolvendo a equação quadrática:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, temos duas raízes reais e distintas:
Passo 5
Com as raízes
e
, a solução geral da equação diferencial é:
Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar as constantes
e
.
Passo 6
Aplicando
:
Aplicando
, primeiro encontramos
:
Então, em
:
Agora, temos o sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema.
Multiplicando a segunda equação por 6 para eliminar as frações:
Agora, temos:
Resolvendo a primeira equação para
:
Substituindo na segunda equação:
Então,
Passo 7
Agora que temos
e
, substituímos na solução geral:
Para esboçar o gráfico, notamos que à medida que
aumenta:
-
cresce mais rapidamente. -
cresce de forma mais lenta.
Portanto, o termo negativo crescerá mais rápido do que o termo positivo, fazendo com que
eventualmente diminua para valores negativos conforme
aumenta.
Resposta
A solução do problema de valor inicial é:
À medida que
aumenta, a função inicialmente decresce devido ao termo
, mas eventualmente é dominada pelo termo
, resultando em um comportamento crescente para valores maiores de
.