Encontre a soluçâo do problema de valor inicial dado. Esboce o gráfico da solução e descreva seu comportamento quando t aumenta.
6y'' - 5y' + y ≥ 0, y(0) = 4, y'(0) = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem:
com as condições iniciais:
Vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais lineares homogêneas e resolver isso passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar a equação de igualdade para facilitar a resolução:
Essa é uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem. Para resolver, usamos a equação característica associada.

Passo 3

A equação característica é obtida substituindo na equação diferencial. Isso nos dá:
Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de .

Passo 4

Resolvendo a equação quadrática:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, temos duas raízes reais e distintas:

Passo 5

Com as raízes e , a solução geral da equação diferencial é:
Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar as constantes e .

Passo 6

Aplicando :
Aplicando , primeiro encontramos :
Então, em :
Agora, temos o sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema.
Multiplicando a segunda equação por 6 para eliminar as frações:
Agora, temos:
Resolvendo a primeira equação para :
Substituindo na segunda equação:
Então,

Passo 7

Agora que temos e , substituímos na solução geral:
Para esboçar o gráfico, notamos que à medida que aumenta:
  • cresce mais rapidamente.
  • cresce de forma mais lenta.
Portanto, o termo negativo crescerá mais rápido do que o termo positivo, fazendo com que eventualmente diminua para valores negativos conforme aumenta.

Resposta

A solução do problema de valor inicial é:
À medida que aumenta, a função inicialmente decresce devido ao termo , mas eventualmente é dominada pelo termo , resultando em um comportamento crescente para valores maiores de .

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