Encontre a solução do problema de valor inicial dado geral da equação diferencial:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem com valor inicial:
Onde
é uma função que muda dependendo do valor de
:
Vamos usar conhecimentos de equações diferenciais ordinárias, especificamente de equações lineares de segunda ordem com coeficientes constantes e função forçante
. Precisaremos encontrar a solução geral da equação homogênea e uma solução particular para a equação completa, aplicando as condições iniciais para determinar as constantes.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é a parte sem o
:
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A solução geral dessa equação homogênea é baseada nas raízes da equação característica.
A equação característica é:
Resolvendo para
:
Como as raízes são complexas, a solução geral da equação homogênea é:
Onde
e
são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar uma solução particular (
) para a equação completa:
Como
é uma função por partes, vamos encontrar a solução particular para cada intervalo de
.
3.1 Para
, onde
Assumimos uma solução particular da forma polinomial:
Calculando as derivadas:
Substituindo na equação diferencial:
Igualando os coeficientes:
Então, a solução particular para
é:
3.2 Para
, onde
Assumimos uma solução particular constante, já que
é constante:
Calculando as derivadas:
Substituindo na equação diferencial:
Então, a solução particular para
é:
Passo 4
Agora, combinamos a solução geral da homogênea com as soluções particulares encontradas para cada intervalo:
4.1 Para
4.2 Para
Note que, para garantir a continuidade da solução e sua derivada em
, precisamos que as soluções dos dois intervalos coincidam nesse ponto.
Passo 5
Aplicamos as condições iniciais
e
na solução para
.
Primeiro, calculamos
:
Agora, calculamos
:
Aplicando
:
Então, para
, a solução é:
Passo 6
Para
, precisamos garantir que a solução e sua derivada sejam contínuas em
. Ou seja, os valores de
e
devem ser iguais quando
se aproxima de 6 pela esquerda e pela direita.
Calculamos
e
usando a solução para
:
Agora, usamos a solução para
:
Igualando as soluções:
Resolvendo esse sistema de equações, encontramos os valores de
e
.
Resposta
A solução geral do problema de valor inicial é:
Onde as constantes
e
são determinadas garantindo a continuidade em
.
Exercícios relacionados
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Resolva a equação diferencial usando o método da variação dos parâmetros.
Nos Exercícios 23-40, calcule os limites indicados.
23.
23.
Nos Exercícios 69-72, complete a tabela calculando
nos valores dados de
. Use os resultados obtidos para estimar os limites indicados, caso tais limites existam.
69. e
69.
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1 | 10 | 100 | 1.000 |
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-1 | -10 | -100 | -1.000 |
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