Encontre a solução do problema de valor inicial dado geral da equação diferencial:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem com valor inicial:
Onde é uma função que muda dependendo do valor de :
Vamos usar conhecimentos de equações diferenciais ordinárias, especificamente de equações lineares de segunda ordem com coeficientes constantes e função forçante . Precisaremos encontrar a solução geral da equação homogênea e uma solução particular para a equação completa, aplicando as condições iniciais para determinar as constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é a parte sem o :
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A solução geral dessa equação homogênea é baseada nas raízes da equação característica.
A equação característica é:
Resolvendo para :
Como as raízes são complexas, a solução geral da equação homogênea é:
Onde e são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar uma solução particular ( ) para a equação completa:
Como é uma função por partes, vamos encontrar a solução particular para cada intervalo de .

3.1 Para , onde

Assumimos uma solução particular da forma polinomial:
Calculando as derivadas:
Substituindo na equação diferencial:
Igualando os coeficientes:
Então, a solução particular para é:

3.2 Para , onde

Assumimos uma solução particular constante, já que é constante:
Calculando as derivadas:
Substituindo na equação diferencial:
Então, a solução particular para é:

Passo 4

Agora, combinamos a solução geral da homogênea com as soluções particulares encontradas para cada intervalo:

4.1 Para

4.2 Para

Note que, para garantir a continuidade da solução e sua derivada em , precisamos que as soluções dos dois intervalos coincidam nesse ponto.

Passo 5

Aplicamos as condições iniciais e na solução para .
Primeiro, calculamos :
Agora, calculamos :
Aplicando :
Então, para , a solução é:

Passo 6

Para , precisamos garantir que a solução e sua derivada sejam contínuas em . Ou seja, os valores de e devem ser iguais quando se aproxima de 6 pela esquerda e pela direita.
Calculamos e usando a solução para :
Agora, usamos a solução para :
Igualando as soluções:
Resolvendo esse sistema de equações, encontramos os valores de e .

Resposta

A solução geral do problema de valor inicial é:
Onde as constantes e são determinadas garantindo a continuidade em .

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23.
Nos Exercícios 69-72, complete a tabela calculando nos valores dados de . Use os resultados obtidos para estimar os limites indicados, caso tais limites existam.
69. e
1 10 100 1.000
-1 -10 -100 -1.000
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