Encontre a solução do problema de valor inicial dado geral da equação diferencial:
y^prime prime+y=g(t), y(0)=0, y^prime(0)=1 g(t)=lc t2, & 0 <= t<6 3, & t >= 6

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem com valor inicial:
y'' + y = g(t), y(0) = 0, y'(0) = 1
Onde g(t) é uma função que muda dependendo do valor de t:
g(t) = t2, & 0 <= t < 6 3, & t >= 6
Vamos usar conhecimentos de equações diferenciais ordinárias, especificamente de equações lineares de segunda ordem com coeficientes constantes e função forçante g(t). Precisaremos encontrar a solução geral da equação homogênea e uma solução particular para a equação completa, aplicando as condições iniciais para determinar as constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é a parte sem o g(t):
y'' + y = 0
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A solução geral dessa equação homogênea é baseada nas raízes da equação característica.
A equação característica é:
r^2 + 1 = 0
Resolvendo para r:
r^2 = -1 r = pm i
Como as raízes são complexas, a solução geral da equação homogênea é:
yh(t) = C1 cos(t) + C2 sin(t)
Onde C1 e C2 são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar uma solução particular ( yp) para a equação completa:
y'' + y = g(t)
Como g(t) é uma função por partes, vamos encontrar a solução particular para cada intervalo de t.

3.1 Para 0 <= t < 6, onde g(t) = t2

Assumimos uma solução particular da forma polinomial:
yp(t) = At + B
Calculando as derivadas:
yp' = A yp'' = 0
Substituindo na equação diferencial:
0 + (At + B) = t2 At + B = t2
Igualando os coeficientes:
A = 12 B = 0
Então, a solução particular para 0 <= t < 6 é:
yp1(t) = 12 t

3.2 Para t >= 6, onde g(t) = 3

Assumimos uma solução particular constante, já que g(t) é constante:
yp(t) = K
Calculando as derivadas:
yp' = 0 yp'' = 0
Substituindo na equação diferencial:
0 + K = 3 K = 3
Então, a solução particular para t >= 6 é:
yp2(t) = 3

Passo 4

Agora, combinamos a solução geral da homogênea com as soluções particulares encontradas para cada intervalo:

4.1 Para 0 <= t < 6

y(t) = yh(t) + yp1(t) = C1 cos(t) + C2 sin(t) + 12 t

4.2 Para t >= 6

y(t) = yh(t) + yp2(t) = C3 cos(t) + C4 sin(t) + 3
Note que, para garantir a continuidade da solução e sua derivada em t=6, precisamos que as soluções dos dois intervalos coincidam nesse ponto.

Passo 5

Aplicamos as condições iniciais y(0) = 0 e y'(0) = 1 na solução para 0 <= t < 6.
Primeiro, calculamos y(0):
0 = C1 cos(0) + C2 sin(0) + 12 cdot 0 0 = C1 cdot 1 + C2 cdot 0 + 0 C1 = 0
Agora, calculamos y'(t):
y'(t) = -C1 sin(t) + C2 cos(t) + 12
Aplicando y'(0) = 1:
1 = -0 cdot sin(0) + C2 cos(0) + 12 1 = 0 + C2 cdot 1 + 12 C2 = 12
Então, para 0 <= t < 6, a solução é:
y(t) = 12 sin(t) + 12 t

Passo 6

Para t >= 6, precisamos garantir que a solução e sua derivada sejam contínuas em t=6. Ou seja, os valores de y(t) e y'(t) devem ser iguais quando t se aproxima de 6 pela esquerda e pela direita.
Calculamos y(6^-) e y'(6^-) usando a solução para 0 <= t < 6:
y(6^-) = 12 sin(6) + 12 cdot 6 = 12 sin(6) + 3
y'(6^-) = 12 cos(6) + 12
Agora, usamos a solução para t >= 6:
y(6) = C3 cos(6) + C4 sin(6) + 3
y'(6) = -C3 sin(6) + C4 cos(6)
Igualando as soluções:
12 sin(6) + 3 = C3 cos(6) + C4 sin(6) + 3 12 sin(6) = C3 cos(6) + C4 sin(6)
12 cos(6) + 12 = -C3 sin(6) + C4 cos(6)
Resolvendo esse sistema de equações, encontramos os valores de C3 e C4.

Resposta

A solução geral do problema de valor inicial é:
y(t) = 12 sin(t) + 12 t, & 0 <= t < 6 C3 cos(t) + C4 sin(t) + 3, & t >= 6
Onde as constantes C3 e C4 são determinadas garantindo a continuidade em t=6.

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