Nos Exercícios 69-72, complete a tabela calculando f(x) nos valores dados de x. Use os resultados obtidos para estimar os limites indicados, caso tais limites existam.
69. f(x)=1x^2+1 ; lim x infty f(x) e lim x -infty f(x)
x 1 10 100 1.000
f(x)
x -1 -10 -100 -1.000
:— :— :— :— :—
f(x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a questão 69 juntos! O enunciado pede para calcularmos a função para alguns valores de e depois estimar os limites dessa função quando tende ao infinito positivo e negativo. Para isso, precisamos usar conhecimentos de funções e limites em cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular f(1) = 11^2 + 1 = 12 = 0,5 para os valores positivos de f(10) = 110^2 + 1 = 1100 + 1 = 1101 approx 0,0099 : 1, 10, 100 e 1.000.
  • Para f(100) = 1100^2 + 1 = 110.000 + 1 = 110.001 approx 0,0001 :
    f(1000) = 11000^2 + 1 = 11.000.000 + 1 = 11.000.001 approx 0,000001
  • Para :
  • Para :
  • Para :

Passo 3

Agora, vamos calcular f(-1) = 1(-1)^2 + 1 = 11 + 1 = 12 = 0,5 para os valores negativos de f(-10) = 1(-10)^2 + 1 = 1100 + 1 = 1101 approx 0,0099 : -1, -10, -100 e -1.000. Como a função depende de f(-100) = 1(-100)^2 + 1 = 110.000 + 1 = 110.001 approx 0,0001 , que é sempre positivo, os resultados serão os mesmos que para os valores positivos correspondentes.
  • Para f(-1000) = 1(-1000)^2 + 1 = 11.000.000 + 1 = 11.000.001 approx 0,000001 :
  • Para :
  • Para :
  • Para :

Passo 4

Com os valores calculados, vamos preencher a tabela:
1 10 100 1.000
0,5 0,0099 0,0001 0,000001
-1 -10 -100 -1.000
:— :— :— :— :—
0,5 0,0099 0,0001 0,000001

Passo 5

Agora, vamos estimar os limites. Observando os valores de conforme aumenta em magnitude (tanto positiva quanto negativamente), percebemos que está se aproximando de 0. Isso faz sentido porque, à medida que fica muito grande (positivo ou negativo), domina o denominador, tornando muito pequeno.

Passo 6

Formalmente, sabemos que:
limx to infty 1x^2 + 1 = 0
e
limx to -infty 1x^2 + 1 = 0
Isso ocorre porque o termo cresce muito mais rápido que 1, fazendo com que a fração inteira se aproxime de zero.

Resposta

O limite de quando tende a e a é 0.

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