Encontre a solução do problema de valor inicial dado.
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Passo 1

Beleza, vamos ver o que a gente precisa resolver aqui. A questão pede para encontrar a solução de um problema de valor inicial envolvendo uma equação diferencial. Especificamente, temos uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes:
com as condições iniciais e . A função é definida de forma que é igual a 1 para e igual a 0 para . Para resolver isso, vamos precisar usar métodos de resolução de equações diferenciais lineares, e uma boa ferramenta para lidar com funções que mudam de comportamento no tempo é a Transformada de Laplace.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como aplicar a Transformada de Laplace nessa equação. A Transformada de Laplace transforma equações diferenciais no domínio do tempo para o domínio da frequência, facilitando a resolução.
Aplicando a Transformada de Laplace na equação diferencial, temos:
Sabemos que:
Substituindo as condições iniciais e :
Podemos fatorar :

Passo 3

Agora, precisamos encontrar . A função é uma função em degrau que muda de 1 para 0 em . Podemos expressá-la usando a função de Heaviside :
A Transformada de Laplace de será:
Então, substituindo de volta na equação para :

Passo 4

Vamos isolar :
Podemos fatorar o denominador :

Passo 5

Para encontrar , precisamos calcular a Transformada Inversa de Laplace de . Vamos primeiro decompor a fração em frações parciais:
Multiplicando ambos os lados por :
Para encontrar , escolhemos valores de :
  • Para :
  • Para :
  • Para :
Então:

Passo 6

Agora, aplicamos a Transformada Inversa de Laplace:
Para o termo com , usamos o teorema do atraso:

Passo 7

Juntando tudo, a solução é:

Resposta

A solução do problema de valor inicial é:

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