Encontre a solução do problema de valor inicial dado.
;
Passo 1
Beleza, vamos ver o que a gente precisa resolver aqui. A questão pede para encontrar a solução de um problema de valor inicial envolvendo uma equação diferencial. Especificamente, temos uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes:
com as condições iniciais
e
. A função
é definida de forma que é igual a 1 para
e igual a 0 para
. Para resolver isso, vamos precisar usar métodos de resolução de equações diferenciais lineares, e uma boa ferramenta para lidar com funções que mudam de comportamento no tempo é a Transformada de Laplace.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como aplicar a Transformada de Laplace nessa equação. A Transformada de Laplace transforma equações diferenciais no domínio do tempo para o domínio da frequência, facilitando a resolução.
Aplicando a Transformada de Laplace na equação diferencial, temos:
Sabemos que:
Substituindo as condições iniciais
e
:
Podemos fatorar
:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar
. A função
é uma função em degrau que muda de 1 para 0 em
. Podemos expressá-la usando a função de Heaviside
:
A Transformada de Laplace de
será:
Então, substituindo de volta na equação para
:
Passo 4
Vamos isolar
:
Podemos fatorar o denominador
:
Passo 5
Para encontrar
, precisamos calcular a Transformada Inversa de Laplace de
. Vamos primeiro decompor a fração em frações parciais:
Multiplicando ambos os lados por
:
Para encontrar
, escolhemos valores de
:
-
Para
: -
Para
: -
Para
:
Então:
Passo 6
Agora, aplicamos a Transformada Inversa de Laplace:
Para o termo com
, usamos o teorema do atraso:
Passo 7
Juntando tudo, a solução
é:
Resposta
A solução do problema de valor inicial é:
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Calcule o gradiente das funções dadas:
Represente geometricamente o campo vetorial dado: