Encontre a transformada de Laplace da função dada.

Passo 1

Vamos lá! O enunciado pede para encontrar a transformada de Laplace da função , que é definida de forma diferente para e . Isso envolve conceitos de transformada de Laplace e função por partes. Para resolver, vamos precisar entender como aplicar a transformada de Laplace em funções definidas por partes, especialmente usando a função degrau unitário.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a função de uma maneira que facilite a aplicação da transformada de Laplace. Como para e para , podemos expressar usando a função degrau unitário :
A função “liga” a função a partir de .

Passo 3

Agora, vamos aplicar a transformada de Laplace nessa expressão. A transformada de Laplace de é dada por:
Nesse caso, e .

Passo 4

Primeiro, encontramos a transformada de Laplace de :
Essa é uma transformada padrão que aparece nas tabelas de transformadas de Laplace.

Passo 5

Agora, aplicamos a fórmula da função por partes com :
Multiplicamos a transformada de por para levar em conta o deslocamento no tempo.

Resposta

A transformada de Laplace da função é:

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Calcule o gradiente das funções dadas: