Encontre a transformada de Laplace da função dada.
Passo 1
Vamos lá! O enunciado pede para encontrar a transformada de Laplace da função
, que é definida de forma diferente para
e
. Isso envolve conceitos de transformada de Laplace e função por partes. Para resolver, vamos precisar entender como aplicar a transformada de Laplace em funções definidas por partes, especialmente usando a função degrau unitário.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a função
de uma maneira que facilite a aplicação da transformada de Laplace. Como
para
e
para
, podemos expressar
usando a função degrau unitário
:
A função
“liga” a função
a partir de
.
Passo 3
Agora, vamos aplicar a transformada de Laplace nessa expressão. A transformada de Laplace de
é dada por:
Nesse caso,
e
.
Passo 4
Primeiro, encontramos a transformada de Laplace de
:
Essa é uma transformada padrão que aparece nas tabelas de transformadas de Laplace.
Passo 5
Agora, aplicamos a fórmula da função por partes com
:
Multiplicamos a transformada de
por
para levar em conta o deslocamento no tempo.
Resposta
A transformada de Laplace da função
é:
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;
Calcule o gradiente das funções dadas: