Verifique que cada função dada é solução da equação diferencial
(a)
;
(b)
e
(a)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para verificar se certas funções são soluções de equações diferenciais específicas. Isso envolve entender um pouquinho de cálculo, especialmente sobre derivadas e como elas se relacionam com as equações diferenciais dadas. Para resolver, vamos precisar calcular as derivadas das funções e substituir na equação para ver se tudo se encaixa certinho.
Passo 2
Vamos começar com a parte (a). A equação diferencial é:
E a função que queremos verificar é:
Primeiro, precisamos calcular a derivada de
em relação a
, que é
.
Passo 3
Calculando a derivada de
:
Passo 4
Agora, vamos substituir
e
na equação diferencial para verificar se a igualdade se mantém:
Viu? Tudo se iguala!
Passo 5
Agora, vamos para a parte (b). A equação diferencial é:
As funções que precisamos verificar são:
Primeiro, vamos verificar
.
Passo 6
Calculando as derivadas de
:
Passo 7
Substituindo na equação diferencial:
Portanto,
é solução.
Passo 8
Agora, vamos verificar
:
Primeiro, calculamos as derivadas.
Passo 9
Calculando as derivadas de
:
Usando a regra do produto para derivadas:
Calculando a segunda derivada:
Passo 10
Agora, substituímos
,
e
na equação diferencial:
Tudo deu certo!
Resposta
As funções dadas são soluções válidas das respectivas equações diferenciais.