Verifique que cada função dada é solução da equação diferencial
(a) t y' - y = t^2, y(t) = 3t + t^2;
(b) t^2 y'' + 5 t y' + 4 y = 0, t > 0, y1(t) = t^-2 e y2(t) = t^(-2) ln(t)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para verificar se certas funções são soluções de equações diferenciais específicas. Isso envolve entender um pouquinho de cálculo, especialmente sobre derivadas e como elas se relacionam com as equações diferenciais dadas. Para resolver, vamos precisar calcular as derivadas das funções e substituir na equação para ver se tudo se encaixa certinho.

Passo 2

Vamos começar com a parte (a). A equação diferencial é:
E a função que queremos verificar é:
Primeiro, precisamos calcular a derivada de em relação a , que é .

Passo 3

Calculando a derivada de :

Passo 4

Agora, vamos substituir e na equação diferencial para verificar se a igualdade se mantém:
Viu? Tudo se iguala!

Passo 5

Agora, vamos para a parte (b). A equação diferencial é:
As funções que precisamos verificar são:
Primeiro, vamos verificar .

Passo 6

Calculando as derivadas de :

Passo 7

Substituindo na equação diferencial:
Portanto, é solução.

Passo 8

Agora, vamos verificar :
Primeiro, calculamos as derivadas.

Passo 9

Calculando as derivadas de :
Usando a regra do produto para derivadas:
Calculando a segunda derivada:

Passo 10

Agora, substituímos , e na equação diferencial:
Tudo deu certo!

Resposta

As funções dadas são soluções válidas das respectivas equações diferenciais.

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