Resolva as equações diferenciais.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para resolver a equação diferencial
. Estamos lidando com equações diferenciais, que são fundamentais no estudo de como as funções mudam. Para resolver isso, vamos precisar usar substituições e técnicas de separação de variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação. Podemos reescrever a equação original isolando
:
Passo 3
Agora, vamos fazer uma substituição para facilitar a resolução. Vamos definir
, ou seja,
. Isso nos ajuda a transformar a equação em termos de
e
.
Passo 4
Calculando a derivada de
em relação a
, temos:
Passo 5
Substituindo
e
na equação original, ficamos com:
Passo 6
Agora, isolamos
:
Passo 7
Vamos separar as variáveis
e
:
Passo 8
Agora, integramos ambos os lados:
A substituição
simplifica a integral do lado esquerdo:
Passo 9
Exponenciando ambos os lados para eliminar os logaritmos:
Lembrando que
, substituímos de volta:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é
, onde
é a constante de integração.