Resolva as equações diferenciais.
d y/d x + (x^2 - 3 y^2)/(2 x y) = 0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para resolver a equação diferencial . Estamos lidando com equações diferenciais, que são fundamentais no estudo de como as funções mudam. Para resolver isso, vamos precisar usar substituições e técnicas de separação de variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação. Podemos reescrever a equação original isolando :

Passo 3

Agora, vamos fazer uma substituição para facilitar a resolução. Vamos definir , ou seja, . Isso nos ajuda a transformar a equação em termos de e .

Passo 4

Calculando a derivada de em relação a , temos:

Passo 5

Substituindo e na equação original, ficamos com:

Passo 6

Agora, isolamos :

Passo 7

Vamos separar as variáveis e :

Passo 8

Agora, integramos ambos os lados:
A substituição simplifica a integral do lado esquerdo:

Passo 9

Exponenciando ambos os lados para eliminar os logaritmos:
Lembrando que , substituímos de volta:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é , onde é a constante de integração.

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