Resolva as equações fazendo as mudanças de variáveis sugeridas:
.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que a gente tem aqui: . A matéria que vamos usar envolve mudanças de variável e métodos de resolução de equações diferenciais. A dica que a gente tem é fazer uma substituição, onde . Vamos precisar entender como essa substituição ajuda a simplificar a equação e resolver para .

Passo 2

Primeiro, vamos fazer a substituição sugerida: . Isso significa que podemos reescrever em termos de :
Agora, vamos derivar essa expressão em relação a para encontrar :
Aqui, é a derivada de em relação a .

Passo 3

Substituímos na equação original:
Mas lembramos que , então:
Agora, temos uma equação mais simples para resolver: .

Passo 4

Essa é uma equação diferencial separável, o que significa que podemos separar as variáveis e :
Vamos integrar os dois lados para encontrar em termos de .

Passo 5

Integrando o lado esquerdo:
E integrando o lado direito:
Igualando as duas integrações:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Vamos resolver para . Primeiro, multiplicamos ambos os lados por 2:
Onde ainda é uma constante.
Agora, aplicamos a função exponencial para eliminar o logaritmo:
Onde é uma nova constante.

Passo 7

Resolvendo para :

Passo 8

Lembrando que , substituímos de volta para encontrar :

Resposta

A solução geral da equação é:
Onde é uma constante arbitrária.

Exercícios relacionados

Resolva as equações diferenciais.
.
Encontre a solução do problema de valor inicial dado.
Suponha que um tanque contenha uma mistura de água e sal com um volume inicial 100 litros e 10 gramas de sal e que água pura seja bombeada para dentro do tanque a uma taxa de 1 litro por minuto. Suponha que a solução bem misturada sai a uma taxa de 2 litros por minuto.
(a) Determine a quantidade de sal no tanque em cada instante , onde é contado a partir do início do processo.
Resolva as equações diferenciais.
.