Resolva as equações fazendo as mudanças de variáveis sugeridas: .
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que a gente tem aqui: . A matéria que vamos usar envolve mudanças de variável e métodos de resolução de equações diferenciais. A dica que a gente tem é fazer uma substituição, onde . Vamos precisar entender como essa substituição ajuda a simplificar a equação e resolver para .
Passo 2
Primeiro, vamos fazer a substituição sugerida: . Isso significa que podemos reescrever em termos de :
Agora, vamos derivar essa expressão em relação a para encontrar :
Aqui, é a derivada de em relação a .
Passo 3
Substituímos na equação original:
Mas lembramos que , então:
Agora, temos uma equação mais simples para resolver: .
Passo 4
Essa é uma equação diferencial separável, o que significa que podemos separar as variáveis e :
Vamos integrar os dois lados para encontrar em termos de .
Passo 5
Integrando o lado esquerdo:
E integrando o lado direito:
Igualando as duas integrações:
Onde é a constante de integração.
Passo 6
Vamos resolver para . Primeiro, multiplicamos ambos os lados por 2:
Onde ainda é uma constante.
Agora, aplicamos a função exponencial para eliminar o logaritmo:
Onde é uma nova constante.
Passo 7
Resolvendo para :
Passo 8
Lembrando que , substituímos de volta para encontrar :