Encontre a solução do problema de valor inicial dado.
,
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que resolver uma equação diferencial de quarta ordem:
. Isso significa que estamos trabalhando com derivadas até a quarta ordem. Para resolver isso, vamos precisar usar métodos de equações diferenciais lineares homogêneas com coeficientes constantes. Também temos quatro condições iniciais:
,
,
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a equação característica associada à equação diferencial. Substituímos
por
e
por 1, ficando:
Isso nos dá:
Passo 3
Agora, vamos resolver
. As raízes dessa equação são os quatro números complexos que satisfazem essa igualdade. Sabemos que:
Então, as raízes são
,
,
e
.
Passo 4
Com as raízes encontradas, podemos escrever a solução geral da equação diferencial. Cada raiz contribui com um termo na solução:
Aqui,
e
são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.
Passo 5
Vamos aplicar as condições iniciais para encontrar as constantes. Primeiro, vamos calcular as derivadas de
:
Passo 6
Agora, aplicamos as condições iniciais:
Para
:
Passo 7
Vamos resolver o sistema de equações:
Somando as equações 1 e 3:
Subtraindo a equação 3 da 1:
Das equações 2 e 4, somando:
Como
e
, temos
.
Substituindo em 2:
Resposta
A solução do problema é:
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Construa o gráfico das funções definidas em
em cada um dos ítens abaixo:
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Encontre a solução do problema de valor inicial dado.