Encontre a solução do problema de valor inicial dado.
,

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que resolver uma equação diferencial de quarta ordem: . Isso significa que estamos trabalhando com derivadas até a quarta ordem. Para resolver isso, vamos precisar usar métodos de equações diferenciais lineares homogêneas com coeficientes constantes. Também temos quatro condições iniciais: , , e .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a equação característica associada à equação diferencial. Substituímos por e por 1, ficando:
Isso nos dá:

Passo 3

Agora, vamos resolver . As raízes dessa equação são os quatro números complexos que satisfazem essa igualdade. Sabemos que:
Então, as raízes são , , e .

Passo 4

Com as raízes encontradas, podemos escrever a solução geral da equação diferencial. Cada raiz contribui com um termo na solução:
Aqui, e são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.

Passo 5

Vamos aplicar as condições iniciais para encontrar as constantes. Primeiro, vamos calcular as derivadas de :

Passo 6

Agora, aplicamos as condições iniciais:
Para :

Passo 7

Vamos resolver o sistema de equações:
Somando as equações 1 e 3:
Subtraindo a equação 3 da 1:
Das equações 2 e 4, somando:
Como e , temos .
Substituindo em 2:

Resposta

A solução do problema é:

Exercícios relacionados

Determine os zeros das funções abaixo:
Construa o gráfico das funções definidas em em cada um dos ítens abaixo:
Determine os vértices das parábolas:
Encontre a solução do problema de valor inicial dado.