Encontre a solução do problema de valor inicial dado: y' - y = 2 e^(2 t), y(0) = 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de equação diferencial! O enunciado nos dá uma equação do tipo com uma condição inicial . Aqui, vamos usar o método do fator integrante, que é uma técnica para resolver equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para isso, precisamos identificar os componentes da equação e aplicar a fórmula adequada.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem:

Comparando com a nossa equação:
Podemos ver que e .

Passo 3

Agora, vamos encontrar o fator integrante , que é dado por:

Substituindo :

Passo 4

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante :

Simplificando o lado direito:

Passo 5

Perceba que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto :

Então, integramos ambos os lados em relação a :

Passo 6

A integração do lado esquerdo resulta simplesmente em :

Agora, resolvemos para :

Passo 7

Aplicamos a condição inicial para encontrar a constante :

Resposta

A solução do problema é:

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