Verifique se os pares de funções são linearmente dependentes (L.D.) ou independentes (L.I.) na reta real.
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta pede para verificarmos se os pares de funções são linearmente dependentes (L.D.) ou independentes (L.I.) na reta real. Hoje, vamos focar no item (a), onde temos as funções
e
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa funções serem linearmente dependentes ou independentes e aplicar esse conceito para essas duas funções específicas.
Passo 2
Primeiro, vamos esclarecer o que é dependência linear e independência linear. Duas funções são consideradas linearmente dependentes se uma delas puder ser escrita como uma combinação linear da outra. Isso significa que existe uma constante
tal que
para todo
.
Por outro lado, as funções são linearmente independentes se não existe nenhuma constante
que satisfaça essa relação para todo
. Em outras palavras, nenhuma das funções pode ser escrita como múltiplo da outra.
Passo 3
Vamos aplicar isso às funções que temos:
Queremos saber se existe uma constante
tal que:
Substituindo, temos:
Passo 4
Agora, vamos analisar a equação
. Aqui,
deveria ser uma constante que vale para todos os valores de
. Porém, isso não é possível porque
varia ao longo da reta real, enquanto
é uma constante fixa. Portanto, não existe nenhum valor de
que satisfaça essa igualdade para todo
.
Passo 5
Como não existe uma constante
que faça
para todos os
, concluímos que as funções
e
são linearmente independentes.
Resposta
As funções
e
são linearmente independentes (L.I.) na reta real.
Exercícios relacionados
Encontre a solução do problema de valor inicial dado:
Encontre os limites:
Verifique se os pares de funções são linearmente dependentes (L.D.) ou independentes (L.I.) na reta real.
;
Verifique se os pares de funções são linearmente dependentes (L.D.) ou independentes (L.I.) na reta real.
;