Verifique se os pares de funções são linearmente dependentes (L.D.) ou independentes (L.I.) na reta real.
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Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta pede para verificarmos se os pares de funções são linearmente dependentes (L.D.) ou independentes (L.I.) na reta real. Hoje, vamos focar no item (a), onde temos as funções e . Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa funções serem linearmente dependentes ou independentes e aplicar esse conceito para essas duas funções específicas.

Passo 2

Primeiro, vamos esclarecer o que é dependência linear e independência linear. Duas funções são consideradas linearmente dependentes se uma delas puder ser escrita como uma combinação linear da outra. Isso significa que existe uma constante tal que para todo .
Por outro lado, as funções são linearmente independentes se não existe nenhuma constante que satisfaça essa relação para todo . Em outras palavras, nenhuma das funções pode ser escrita como múltiplo da outra.

Passo 3

Vamos aplicar isso às funções que temos:
Queremos saber se existe uma constante tal que:
Substituindo, temos:

Passo 4

Agora, vamos analisar a equação . Aqui, deveria ser uma constante que vale para todos os valores de . Porém, isso não é possível porque varia ao longo da reta real, enquanto é uma constante fixa. Portanto, não existe nenhum valor de que satisfaça essa igualdade para todo .

Passo 5

Como não existe uma constante que faça para todos os , concluímos que as funções e são linearmente independentes.

Resposta

As funções e são linearmente independentes (L.I.) na reta real.

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