Nos problemas abaixo, descreva o conjunto dos pontos z em C que satisfazem a equação dada.
|2z - 1| = 3

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma equação envolvendo números complexos: . Nosso objetivo é descrever todos os pontos no plano complexo que satisfazem essa equação. Para resolver isso, vamos usar conceitos de módulos de números complexos e geometria no plano complexo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que qualquer número complexo pode ser escrito na forma , onde e são números reais, e é a unidade imaginária. Isso nos ajuda a trabalhar com componentes reais e imaginárias separadamente.

Passo 3

Vamos substituir por na equação dada:
Simplificando dentro do módulo:

Passo 4

Agora, separamos as partes real e imaginária:
O módulo de um número complexo é dado por , então aplicamos isso aqui:

Passo 5

Vamos eliminar a raiz quadrada elevando ambos os lados ao quadrado:
Expandindo os termos:

Passo 6

Vamos reorganizar os termos para facilitar a identificação da forma geométrica:
Subtraindo 9 de ambos os lados:

Passo 7

Podemos simplificar dividindo toda a equação por 4:
Agora, vamos completar o quadrado para a parte de :
Completo o quadrado para :
Simplificando:

Passo 8

Agora, reconhecemos que essa é a equação de um círculo no plano complexo, com centro em e raio .

Resposta

O conjunto dos pontos que satisfazem a equação forma um círculo no plano complexo com centro em e raio igual a .

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