Nos problemas abaixo, descreva o conjunto dos pontos
que satisfazem a equação dada.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma equação envolvendo números complexos:
. Nosso objetivo é descrever todos os pontos
no plano complexo que satisfazem essa equação. Para resolver isso, vamos usar conceitos de módulos de números complexos e geometria no plano complexo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que qualquer número complexo
pode ser escrito na forma
, onde
e
são números reais, e
é a unidade imaginária. Isso nos ajuda a trabalhar com componentes reais e imaginárias separadamente.
Passo 3
Vamos substituir
por
na equação dada:
Simplificando dentro do módulo:
Passo 4
Agora, separamos as partes real e imaginária:
O módulo de um número complexo
é dado por
, então aplicamos isso aqui:
Passo 5
Vamos eliminar a raiz quadrada elevando ambos os lados ao quadrado:
Expandindo os termos:
Passo 6
Vamos reorganizar os termos para facilitar a identificação da forma geométrica:
Subtraindo 9 de ambos os lados:
Passo 7
Podemos simplificar dividindo toda a equação por 4:
Agora, vamos completar o quadrado para a parte de
:
Completo o quadrado para
:
Simplificando:
Passo 8
Agora, reconhecemos que essa é a equação de um círculo no plano complexo, com centro em
e raio
.
Resposta
O conjunto dos pontos
que satisfazem a equação
forma um círculo no plano complexo com centro em
e raio igual a
.