Encontre a solução do problema de valor inicial:
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse problema que você enviou. A gente tem uma equação diferencial do tipo primeira ordem linear, que é assim:
Além disso, temos uma condição inicial:
. Para resolver isso, vamos usar o fator integrante, que é uma técnica super útil para resolver equações diferenciais lineares como essa.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial para o formato padrão das equações de primeira ordem lineares:
No nosso caso, temos:
Então, identificamos que
e
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o fator integrante
, que é dado por:
Substituindo
:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante
:
Simplificando o lado direito:
Passo 5
O lado esquerdo da equação agora se torna a derivada do produto
. Ou seja:
Isso facilita bastante a resolução, porque agora temos uma derivada simples para integrar.
Passo 6
Vamos integrar ambos os lados da equação em relação a
:
A integral do lado esquerdo é simplesmente
, e a integral do lado direito é:
Então, temos:
Passo 7
Agora, isolamos
multiplicando ambos os lados por
:
Simplificando os expoentes:
Passo 8
Por último, usamos a condição inicial
para encontrar o valor de
:
Isso simplifica para:
Então:
Resposta
A solução do problema é:
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Calcule e verifique sua resposta por derivação.
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a)
a)
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Identifique as funções compostas como no exemplo abaixo.
Ex. : , onde
e
.
Ex. :