Encontre a solução do problema de valor inicial:

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse problema que você enviou. A gente tem uma equação diferencial do tipo primeira ordem linear, que é assim:
Além disso, temos uma condição inicial: . Para resolver isso, vamos usar o fator integrante, que é uma técnica super útil para resolver equações diferenciais lineares como essa.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial para o formato padrão das equações de primeira ordem lineares:
No nosso caso, temos:
Então, identificamos que e .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o fator integrante , que é dado por:
Substituindo :

Passo 4

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante :
Simplificando o lado direito:

Passo 5

O lado esquerdo da equação agora se torna a derivada do produto . Ou seja:
Isso facilita bastante a resolução, porque agora temos uma derivada simples para integrar.

Passo 6

Vamos integrar ambos os lados da equação em relação a :
A integral do lado esquerdo é simplesmente , e a integral do lado direito é:
Então, temos:

Passo 7

Agora, isolamos multiplicando ambos os lados por :
Simplificando os expoentes:

Passo 8

Por último, usamos a condição inicial para encontrar o valor de :
Isso simplifica para:
Então:

Resposta

A solução do problema é:

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a)
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Identifique as funções compostas como no exemplo abaixo.
Ex. : , onde e .