Encontre a solução do problema de valor inicial.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais. A gente vai precisar usar conceitos de equações homogêneas, solução geral, e encontrar a solução particular. Além disso, vamos aplicar as condições iniciais para determinar as constantes da solução.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação diferencial dada:
Aqui, representa a segunda derivada de em relação a , é a primeira derivada, e temos um termo não homogêneo .

Passo 3

Vamos resolver a equação homogênea associada:
Para resolver essa equação, assumimos que a solução é da forma , onde é um número que vamos determinar.

Passo 4

Substituindo na equação homogênea:
Dividindo por (que nunca é zero):

Passo 5

Resolvemos a equação característica:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Aqui, , , e .
Então, as raízes são:

Passo 6

Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
Onde e são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais.

Passo 7

Agora, precisamos encontrar uma solução particular ( ) para a equação completa:
Como o termo não homogêneo é um polinômio de primeiro grau ( ), assumimos que a solução particular também será um polinômio de primeiro grau:
Onde e são constantes a serem encontradas.

Passo 8

Calculamos as derivadas de :
Substituímos , e na equação diferencial:
Simplificando:

Passo 9

Agora, igualamos os coeficientes dos termos semelhantes:
Para os termos com :
Para os termos constantes:

Passo 10

Com os valores de e encontrados, a solução particular é:

Passo 11

A solução geral da equação diferencial completa é a soma da solução homogênea e da solução particular:

Passo 12

Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar e .
Primeira condição: .
Substituindo :
çã

Passo 13

Segunda condição: .
Primeiro, calculamos a derivada de :
Substituindo :
çã

Passo 14

Agora, resolvemos o sistema de equações 1 e 2:
Subtraindo a Equação 1 da Equação 2:
Substituindo na Equação 1:

Passo 15

Finalmente, substituímos os valores de e na solução geral:
Simplificando:

Resposta

A solução do problema de valor inicial é:

Exercícios relacionados

Nos itens abaixo, represente o conjunto que satisfazem a desigualdade dada.
Nas funções abaixo, determine as derivadas parciais de primeira e de segunda ordem nos pontos e .
a)
Nas funções abaixo, determine as derivadas parciais de primeira e de segunda ordem nos pontos e .
g)
Nos itens abaixo, represente o conjunto que satisfazem a desigualdade dada.