Encontre a solução do problema de valor inicial.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais. A gente vai precisar usar conceitos de equações homogêneas, solução geral, e encontrar a solução particular. Além disso, vamos aplicar as condições iniciais para determinar as constantes da solução.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação diferencial dada:
Aqui,
representa a segunda derivada de
em relação a
,
é a primeira derivada, e temos um termo não homogêneo
.
Passo 3
Vamos resolver a equação homogênea associada:
Para resolver essa equação, assumimos que a solução é da forma
, onde
é um número que vamos determinar.
Passo 4
Substituindo
na equação homogênea:
Dividindo por
(que nunca é zero):
Passo 5
Resolvemos a equação característica:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Aqui,
,
, e
.
Então, as raízes são:
Passo 6
Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
Onde
e
são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais.
Passo 7
Agora, precisamos encontrar uma solução particular (
) para a equação completa:
Como o termo não homogêneo é um polinômio de primeiro grau (
), assumimos que a solução particular também será um polinômio de primeiro grau:
Onde
e
são constantes a serem encontradas.
Passo 8
Calculamos as derivadas de
:
Substituímos
,
e
na equação diferencial:
Simplificando:
Passo 9
Agora, igualamos os coeficientes dos termos semelhantes:
Para os termos com
:
Para os termos constantes:
Passo 10
Com os valores de
e
encontrados, a solução particular é:
Passo 11
A solução geral da equação diferencial completa é a soma da solução homogênea e da solução particular:
Passo 12
Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar
e
.
Primeira condição:
.
Substituindo
:
Passo 13
Segunda condição:
.
Primeiro, calculamos a derivada de
:
Substituindo
:
Passo 14
Agora, resolvemos o sistema de equações 1 e 2:
Subtraindo a Equação 1 da Equação 2:
Substituindo
na Equação 1:
Passo 15
Finalmente, substituímos os valores de
e
na solução geral:
Simplificando:
Resposta
A solução do problema de valor inicial é:
Exercícios relacionados
Nos itens abaixo, represente o conjunto
que satisfazem a desigualdade dada.
Nas funções abaixo, determine as derivadas parciais de primeira e de segunda ordem nos pontos
e
.
a)
a)
Nas funções abaixo, determine as derivadas parciais de primeira e de segunda ordem nos pontos
e
.
g)
g)
Nos itens abaixo, represente o conjunto
que satisfazem a desigualdade dada.