Encontre a solução do problema de valor inicial.
& y^prime prime+y^prime-2 y=2 t, y(0)=0, y^prime(0)=1 & y=e^t-12 e^-2 t-t-12

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais. A gente vai precisar usar conceitos de equações homogêneas, solução geral, e encontrar a solução particular. Além disso, vamos aplicar as condições iniciais para determinar as constantes da solução.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação diferencial dada:
y'' + y' - 2y = 2t
Aqui, y'' representa a segunda derivada de y em relação a t, y' é a primeira derivada, e temos um termo não homogêneo 2t.

Passo 3

Vamos resolver a equação homogênea associada:
y'' + y' - 2y = 0
Para resolver essa equação, assumimos que a solução é da forma y = e^rt, onde r é um número que vamos determinar.

Passo 4

Substituindo y = e^rt na equação homogênea:
r^2 e^rt + r e^rt - 2 e^rt = 0
Dividindo por e^rt (que nunca é zero):
r^2 + r - 2 = 0

Passo 5

Resolvemos a equação característica:
r^2 + r - 2 = 0
Usando a fórmula de Bhaskara:
r = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Aqui, a = 1, b = 1, e c = -2.
r = -1 pm raiz1 + 82 = -1 pm 32
Então, as raízes são:
r1 = 1 e r2 = -2

Passo 6

Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
yh = C1 e^t + C2 e^-2t
Onde C1 e C2 são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais.

Passo 7

Agora, precisamos encontrar uma solução particular ( yp) para a equação completa:
y'' + y' - 2y = 2t
Como o termo não homogêneo é um polinômio de primeiro grau ( 2t), assumimos que a solução particular também será um polinômio de primeiro grau:
yp = At + B
Onde A e B são constantes a serem encontradas.

Passo 8

Calculamos as derivadas de yp:
yp' = A
yp'' = 0
Substituímos yp, yp' e yp'' na equação diferencial:
0 + A - 2(At + B) = 2t
Simplificando:
A - 2At - 2B = 2t

Passo 9

Agora, igualamos os coeficientes dos termos semelhantes:
Para os termos com t:
-2A = 2 Rightarrow A = -1
Para os termos constantes:
A - 2B = 0 Rightarrow -1 - 2B = 0 Rightarrow B = -12

Passo 10

Com os valores de A e B encontrados, a solução particular é:
yp = -t - 12

Passo 11

A solução geral da equação diferencial completa é a soma da solução homogênea e da solução particular:
y = yh + yp = C1 e^t + C2 e^-2t - t - 12

Passo 12

Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar C1 e C2.
Primeira condição: y(0) = 0.
Substituindo t = 0:
0 = C1 e^0 + C2 e^0 - 0 - 12
0 = C1 + C2 - 12
C1 + C2 = 12 (Equação 1) çã

Passo 13

Segunda condição: y'(0) = 1.
Primeiro, calculamos a derivada de y:
y' = C1 e^t - 2 C2 e^-2t - 1
Substituindo t = 0:
1 = C1 e^0 - 2 C2 e^0 - 1
1 = C1 - 2 C2 - 1
C1 - 2 C2 = 2 (Equação 2) çã

Passo 14

Agora, resolvemos o sistema de equações 1 e 2:
C1 + C2 = 12 C1 - 2 C2 = 2
Subtraindo a Equação 1 da Equação 2:
(C1 - 2 C2) - (C1 + C2) = 2 - 12
-3 C2 = 32
C2 = -12
Substituindo C2 na Equação 1:
C1 - 12 = 12
C1 = 1

Passo 15

Finalmente, substituímos os valores de C1 e C2 na solução geral:
y = 1 cdot e^t + (-12) e^-2t - t - 12
Simplificando:
y = e^t - 12 e^-2t - t - 12

Resposta

A solução do problema de valor inicial é:
y = e^t - 12 e^-2t - t - 12

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