Nas funções abaixo, determine as derivadas parciais de primeira e de segunda ordem nos pontos
e
.
g)
g)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente encontrar as derivadas parciais de primeira e segunda ordem da função
nos pontos
e
. Isso envolve cálculo de derivadas parciais, que é uma parte do cálculo multivariável onde derivamos uma função em relação a uma variável mantendo a outra constante.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de primeira ordem, ou seja,
e
.
Para
:
- A derivada de
em relação a é . - A derivada de
em relação a é 0, já que é constante. - A derivada de
em relação a é . - A derivada de
em relação a é 0. - A derivada de 12 em relação a
é 0.
Então,
.
Para
:
- A derivada de
em relação a é 0. - A derivada de
em relação a é . - A derivada de
em relação a é . - A derivada de
em relação a é . - A derivada de 12 em relação a
é 0.
Então,
.
Passo 3
Agora, vamos calcular essas derivadas nos pontos
e
.
Para
:
-
. -
.
Para
:
-
. -
.
Passo 4
Agora, vamos para as derivadas parciais de segunda ordem. Precisamos calcular
,
e as derivadas cruzadas
e
.
Primeiro, vamos derivar
em relação a
e
:
-
. -
.
Depois, derivar
em relação a
e
:
-
. -
.
Passo 5
Vamos agora calcular essas segundas derivadas nos pontos
e
.
Para
:
-
. -
. -
. -
.
Para
:
-
. -
. -
. -
.
Resposta
As derivadas parciais de primeira e segunda ordem da função
são:
-
No ponto
: -
-
No ponto
: -
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Nos itens abaixo, represente o conjunto
que satisfazem a desigualdade dada.
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