Nas funções abaixo, determine as derivadas parciais de primeira e de segunda ordem nos pontos e .
g)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente encontrar as derivadas parciais de primeira e segunda ordem da função nos pontos e . Isso envolve cálculo de derivadas parciais, que é uma parte do cálculo multivariável onde derivamos uma função em relação a uma variável mantendo a outra constante.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de primeira ordem, ou seja, e .
Para :
  • A derivada de em relação a é .
  • A derivada de em relação a é 0, já que é constante.
  • A derivada de em relação a é .
  • A derivada de em relação a é 0.
  • A derivada de 12 em relação a é 0.
Então, .
Para :
  • A derivada de em relação a é 0.
  • A derivada de em relação a é .
  • A derivada de em relação a é .
  • A derivada de em relação a é .
  • A derivada de 12 em relação a é 0.
Então, .

Passo 3

Agora, vamos calcular essas derivadas nos pontos e .
Para :
  • .
  • .
Para :
  • .
  • .

Passo 4

Agora, vamos para as derivadas parciais de segunda ordem. Precisamos calcular , e as derivadas cruzadas e .
Primeiro, vamos derivar em relação a e :
  • .
  • .
Depois, derivar em relação a e :
  • .
  • .

Passo 5

Vamos agora calcular essas segundas derivadas nos pontos e .
Para :
  • .
  • .
  • .
  • .
Para :
  • .
  • .
  • .
  • .

Resposta

As derivadas parciais de primeira e segunda ordem da função são:
  • No ponto :
  • No ponto :

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