Nos itens abaixo, represente o conjunto U ⊆ C que satisfazem a desigualdade dada.
Re(z) < Im(3z - 1 + 2i)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para representarmos o conjunto dos números complexos que satisfazem a desigualdade .
Aqui, estamos trabalhando com números complexos, que têm uma parte real e uma parte imaginária. Vamos precisar entender como manipular essas partes para resolver a desigualdade.

Passo 2

Primeiro, vamos representar o número complexo como , onde é a parte real e é a parte imaginária de . Isso nos ajuda a trabalhar de forma mais concreta com a desigualdade dada.

Passo 3

Agora, vamos calcular :
Vamos agrupar as partes reais e imaginárias:

Passo 4

A desigualdade que precisamos resolver é . Substituindo , temos:
E da expressão que calculamos:
Então, a desigualdade fica:

Passo 5

Para representar o conjunto , precisamos descrever todos os pontos no plano complexo (que podemos imaginar como um plano cartesiano) que satisfazem . Isso significa que estamos procurando todos os pontos abaixo da linha reta .

Passo 6

A linha pode ser reescrita como:
Essa é uma linha reta com inclinação e intercepto no eixo . O conjunto será todo o espaço abaixo dessa linha no plano complexo.

Resposta

O conjunto que satisfaz a desigualdade é dado por todos os números complexos onde . Em termos gráficos, é a região do plano complexo abaixo da reta .

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