Nos itens abaixo, represente o conjunto
que satisfazem a desigualdade dada.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para representarmos o conjunto
dos números complexos
que satisfazem a desigualdade
.
Aqui, estamos trabalhando com números complexos, que têm uma parte real e uma parte imaginária. Vamos precisar entender como manipular essas partes para resolver a desigualdade.
Passo 2
Primeiro, vamos representar o número complexo
como
, onde
é a parte real e
é a parte imaginária de
. Isso nos ajuda a trabalhar de forma mais concreta com a desigualdade dada.
Passo 3
Agora, vamos calcular
:
Vamos agrupar as partes reais e imaginárias:
Passo 4
A desigualdade que precisamos resolver é
. Substituindo
, temos:
E da expressão que calculamos:
Então, a desigualdade fica:
Passo 5
Para representar o conjunto
, precisamos descrever todos os pontos
no plano complexo (que podemos imaginar como um plano cartesiano) que satisfazem
. Isso significa que estamos procurando todos os pontos abaixo da linha reta
.
Passo 6
A linha
pode ser reescrita como:
Essa é uma linha reta com inclinação
e intercepto
no eixo
. O conjunto
será todo o espaço abaixo dessa linha no plano complexo.
Resposta
O conjunto
que satisfaz a desigualdade é dado por todos os números complexos
onde
. Em termos gráficos, é a região do plano complexo abaixo da reta
.