Nos itens abaixo, represente o conjunto que satisfazem a desigualdade dada.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para representarmos o conjunto dos números complexos que satisfazem a desigualdade .
Aqui, estamos trabalhando com números complexos, que têm uma parte real e uma parte imaginária. Vamos precisar entender como manipular essas partes para resolver a desigualdade.
Passo 2
Primeiro, vamos representar o número complexo como , onde é a parte real e é a parte imaginária de . Isso nos ajuda a trabalhar de forma mais concreta com a desigualdade dada.
Passo 3
Agora, vamos calcular :
Vamos agrupar as partes reais e imaginárias:
Passo 4
A desigualdade que precisamos resolver é . Substituindo , temos:
E da expressão que calculamos:
Então, a desigualdade fica:
Passo 5
Para representar o conjunto , precisamos descrever todos os pontos no plano complexo (que podemos imaginar como um plano cartesiano) que satisfazem . Isso significa que estamos procurando todos os pontos abaixo da linha reta .
Passo 6
A linha pode ser reescrita como:
Essa é uma linha reta com inclinação e intercepto no eixo . O conjunto será todo o espaço abaixo dessa linha no plano complexo.
Resposta
O conjunto que satisfaz a desigualdade é dado por todos os números complexos onde . Em termos gráficos, é a região do plano complexo abaixo da reta .