Encontre a solução do problema de valor inicial . Depois, determine o valor máximo da solução e encontre, também, o ponto onde a solução se anula. máximo

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial passo a passo. A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem:
com as condições iniciais:
Vamos precisar usar a teoria de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes. Isso envolve achar a solução geral da equação e depois ajustar os parâmetros usando as condições iniciais.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação dividindo todos os termos por 2 para facilitar os cálculos:
Agora, vamos encontrar a equação característica associada a essa equação diferencial. A equação característica é obtida substituindo por , o que nos dá:

Passo 3

Vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de . Usando a fórmula de Bhaskara:
Calculando o discriminante:
Então,
Isso nos dá duas raízes reais distintas:

Passo 4

Como temos duas raízes reais e distintas, a solução geral da equação diferencial é:
Agora, vamos usar as condições iniciais para encontrar os valores de e .

Passo 5

Primeiro, aplicamos :
Então,

Passo 6

Agora, derivamos para encontrar :
Aplicamos a outra condição inicial :
Então,

Passo 7

Agora, temos um sistema de equações:
Vamos resolver subtraindo a segunda equação da primeira:
Agora, substituímos na equação (1):

Passo 8

Com os valores de e encontrados, a solução particular da equação diferencial é:

Passo 9

Agora, vamos encontrar o valor máximo da solução. Para isso, precisamos encontrar onde a derivada é zero, ou seja, onde a inclinação da curva é horizontal.
Lembrando que:
Igualamos a zero:
Calculando nesse valor de :

Passo 10

Por fim, vamos encontrar o ponto onde a solução se anula, ou seja, onde :

Resposta

A solução do problema é:
O valor máximo da solução é atingido em , e a solução se anula em .

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$(f) .
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