Encontre a solução do problema de valor inicial
. Depois, determine o valor máximo da solução e encontre, também, o ponto onde a solução se anula. máximo
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial passo a passo. A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem:
com as condições iniciais:
Vamos precisar usar a teoria de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes. Isso envolve achar a solução geral da equação e depois ajustar os parâmetros usando as condições iniciais.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação dividindo todos os termos por 2 para facilitar os cálculos:
Agora, vamos encontrar a equação característica associada a essa equação diferencial. A equação característica é obtida substituindo
por
, o que nos dá:
Passo 3
Vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de
. Usando a fórmula de Bhaskara:
Calculando o discriminante:
Então,
Isso nos dá duas raízes reais distintas:
Passo 4
Como temos duas raízes reais e distintas, a solução geral da equação diferencial é:
Agora, vamos usar as condições iniciais para encontrar os valores de
e
.
Passo 5
Primeiro, aplicamos
:
Então,
Passo 6
Agora, derivamos
para encontrar
:
Aplicamos a outra condição inicial
:
Então,
Passo 7
Agora, temos um sistema de equações:
Vamos resolver subtraindo a segunda equação da primeira:
Agora, substituímos
na equação (1):
Passo 8
Com os valores de
e
encontrados, a solução particular da equação diferencial é:
Passo 9
Agora, vamos encontrar o valor máximo da solução. Para isso, precisamos encontrar onde a derivada
é zero, ou seja, onde a inclinação da curva é horizontal.
Lembrando que:
Igualamos a zero:
Calculando
nesse valor de
:
Passo 10
Por fim, vamos encontrar o ponto onde a solução se anula, ou seja, onde
:
Resposta
A solução do problema é:
O valor máximo da solução é
atingido em
, e a solução se anula em
.
Exercícios relacionados
Desenhe as seguintes figuras.
$(f) .
$(f)
O Wronskiano de duas funções é
. As funções são LI ou LD? Porque?
Se
for uma constante,
, então
desde que
.
Uma bola é lançada para cima. A altura, em qualquer instante de tempo é dada por
. Qual é a altura máxima alcançada pela bola? [Resp:
]