Encontre a transformada de Laplace de cada uma das funções
a seguir:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar a transformada de Laplace da função
, onde
é um número natural. A matéria envolvida aqui é a transformada de Laplace, que é uma ferramenta muito útil para resolver equações diferenciais e transformar funções do domínio do tempo para o domínio da frequência. Para resolver isso, vamos precisar entender a definição da transformada de Laplace e como aplicar algumas propriedades dela.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é a transformada de Laplace. A transformada de Laplace de uma função
é dada por:
Essa integral transforma a função do tempo
para a variável
, que é uma variável complexa.
Passo 3
Agora, vamos aplicar essa definição à nossa função
. Substituindo na fórmula da transformada de Laplace, temos:
Isso simplifica para:
Aqui, a gente combinou os termos exponenciais
e
.
Passo 4
Agora, vamos simplificar a base do exponencial. Observamos que:
Então, a integral fica:
Essa forma nos ajuda a identificar que estamos lidando com uma integral que se parece com a definição da função gama.
Passo 5
A função gama é definida como:
Comparando com a nossa integral, percebemos que podemos fazer uma mudança de variável para adaptar ao formato da função gama. Vamos substituir
, o que implica
e
. Substituindo na integral:
A integral
é precisamente
. E para números naturais
,
. Então, temos:
Resposta
A transformada de Laplace da função
é:
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Encontre a transformada de Laplace de cada uma das funções
a seguir:
.
Determine se cada uma das equações abaixo é separável. Em caso afirmativo, encontre sua solução geral:
Use o método do fator integrante para encontrar a solução geral das seguintes equações lineares:
(a)
(a)
Encontre a solução do problema de valor inicial:
com condições iniciais
,
.