Encontre a transformada de Laplace de cada uma das funções f:[0,+infinito) -> R a seguir:
f(t) = t^n e^(a t), n é um número natural.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar a transformada de Laplace da função , onde é um número natural. A matéria envolvida aqui é a transformada de Laplace, que é uma ferramenta muito útil para resolver equações diferenciais e transformar funções do domínio do tempo para o domínio da frequência. Para resolver isso, vamos precisar entender a definição da transformada de Laplace e como aplicar algumas propriedades dela.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a transformada de Laplace. A transformada de Laplace de uma função é dada por:
Essa integral transforma a função do tempo para a variável , que é uma variável complexa.

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa definição à nossa função . Substituindo na fórmula da transformada de Laplace, temos:
Isso simplifica para:
Aqui, a gente combinou os termos exponenciais e .

Passo 4

Agora, vamos simplificar a base do exponencial. Observamos que:
Então, a integral fica:
Essa forma nos ajuda a identificar que estamos lidando com uma integral que se parece com a definição da função gama.

Passo 5

A função gama é definida como:
Comparando com a nossa integral, percebemos que podemos fazer uma mudança de variável para adaptar ao formato da função gama. Vamos substituir , o que implica e . Substituindo na integral:
A integral é precisamente . E para números naturais , . Então, temos:

Resposta

A transformada de Laplace da função é:

Exercícios relacionados

Encontre a transformada de Laplace de cada uma das funções f:[0,+infinito) -> R a seguir:
f(t) = senh(a t).
Determine se cada uma das equações abaixo é separável. Em caso afirmativo, encontre sua solução geral:
Use o método do fator integrante para encontrar a solução geral das seguintes equações lineares:
(a) y' + 2y = x
Encontre a solução do problema de valor inicial:
y'' + p(t)y' + q(t)y = 0
com condições iniciais y(0) = 1, y'(0) = 0.