Use o método do fator integrante para encontrar a solução geral das seguintes equações lineares:
(a)
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial
usando o método do fator integrante. Esse método é usado para resolver equações lineares de primeira ordem. Aqui, precisamos achar a solução geral para
em termos de
.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão:
Comparando com a nossa equação, temos:
Isso é importante porque o fator integrante depende de
.
Passo 3
O próximo passo é encontrar o fator integrante,
, que é dado por:
Substituindo
:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
Isso transforma a equação em uma forma que permite a simplificação usando a regra do produto.
Passo 5
Agora, o lado esquerdo da equação é a derivada do produto
:
Isso facilita a integração, pois temos a derivada de um produto igual a outra função.
Passo 6
Integrando ambos os lados em relação a
:
Simplificando, obtemos:
Passo 7
Agora, precisamos calcular a integral
. Usamos a integração por partes, onde escolhemos:
Então:
Passo 8
Voltando à equação anterior:
Agora, dividimos ambos os lados por
para isolar
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial
é:
onde
é a constante de integração.
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a seguir:
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com condições iniciais
,
.