Use o método do fator integrante para encontrar a solução geral das seguintes equações lineares:
(a) y' + 2y = x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial usando o método do fator integrante. Esse método é usado para resolver equações lineares de primeira ordem. Aqui, precisamos achar a solução geral para em termos de .

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão:
Comparando com a nossa equação, temos:
Isso é importante porque o fator integrante depende de .

Passo 3

O próximo passo é encontrar o fator integrante, , que é dado por:
Substituindo :

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
Isso transforma a equação em uma forma que permite a simplificação usando a regra do produto.

Passo 5

Agora, o lado esquerdo da equação é a derivada do produto :
Isso facilita a integração, pois temos a derivada de um produto igual a outra função.

Passo 6

Integrando ambos os lados em relação a :
Simplificando, obtemos:

Passo 7

Agora, precisamos calcular a integral . Usamos a integração por partes, onde escolhemos:
Então:

Passo 8

Voltando à equação anterior:
Agora, dividimos ambos os lados por para isolar :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde é a constante de integração.

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