Encontre a solução do Problema de Valor Inicial: y' - y = 2t e^(2t), y(0) = 1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial:

A gente vai usar Equações Diferenciais Lineares de Primeira Ordem. Para isso, precisamos aplicar o método do fator integrante, que ajuda a simplificar e resolver esse tipo de equação.

Passo 2

Primeiro, identificamos a equação no formato padrão:

No nosso caso, podemos reescrever a equação como:
onde e .

Passo 3

Agora, calculamos o fator integrante , que é dado por:

Substituindo :

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:

Simplificando o lado direito:

Passo 5

A esquerda da equação agora é a derivada do produto :

Passo 6

Integrando ambos os lados em relação a :

A integral do lado esquerdo simplesmente nos dá .

Passo 7

Agora, vamos resolver a integral do lado direito usando integração por partes. Seja:

Aplicando a fórmula da integração por partes :

Passo 8

Então, temos:

Multiplicando ambos os lados por :

Passo 9

Aplicamos a condição inicial para encontrar :

Resposta

A solução do problema é:

Exercícios relacionados