Encontre a solução do Problema de Valor Inicial:
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial:
A gente vai usar Equações Diferenciais Lineares de Primeira Ordem. Para isso, precisamos aplicar o método do fator integrante, que ajuda a simplificar e resolver esse tipo de equação.
Passo 2
Primeiro, identificamos a equação no formato padrão:
No nosso caso, podemos reescrever a equação como:
onde
e
.
Passo 3
Agora, calculamos o fator integrante
, que é dado por:
Substituindo
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
Simplificando o lado direito:
Passo 5
A esquerda da equação agora é a derivada do produto
:
Passo 6
Integrando ambos os lados em relação a
:
A integral do lado esquerdo simplesmente nos dá
Passo 7
Agora, vamos resolver a integral do lado direito usando integração por partes. Seja:
Aplicando a fórmula da integração por partes
Passo 8
Então, temos:
Multiplicando ambos os lados por
Passo 9
Aplicamos a condição inicial
para encontrar
:
Resposta
A solução do problema é: