Sejam e naturais tais que .
(a) Quantos múltiplos de existem entre e ?
(b) Quantos múltiplos de 7 existem entre 325 e 3091.

Passo 1

Vamos lá! O exercício nos pede para descobrir quantos múltiplos de um número aparecem em um intervalo específico. A parte (a) é mais geral, usando , e , e a parte (b) dá números concretos. Vamos usar conceitos de divisibilidade e contagem de múltiplos para resolver.

Passo 2

Primeiro, para saber quantos múltiplos de existem entre e , precisamos identificar o primeiro múltiplo de que é maior ou igual a e o último múltiplo que é menor ou igual a .

Passo 3

Encontrar o primeiro múltiplo de após :
  • Dividimos por e arredondamos para cima para garantir que o múltiplo seja igual ou maior que .
  • Isso é feito usando a função teto: .

Passo 4

Encontrar o último múltiplo de antes de :
  • Dividimos por e arredondamos para baixo para garantir que o múltiplo seja igual ou menor que .
  • Isso é feito usando a função piso: ú.

Passo 5

Agora, para contar quantos múltiplos existem entre esses dois valores, usamos a fórmula:
úú
O “+1” é para incluir tanto o primeiro quanto o último múltiplo na contagem.

Passo 6

Aplicando isso à parte (b), onde queremos saber quantos múltiplos de 7 existem entre 325 e 3091:

Passo 7

Encontramos o primeiro múltiplo de 7 após 325:

Passo 8

Encontramos o último múltiplo de 7 antes de 3091:
ú

Passo 9

Calculamos a quantidade de múltiplos:

Resposta

Existem 395 múltiplos de 7 entre 325 e 3091.

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(a) 7469 e 2464
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© 2689 e 4001
Encontre a solução do Problema de Valor Inicial: .