Encontre a solução dos problemas dados abaixo:
d) y'' + 4y = g(t), y(0) = 0, y'(0) = 3, onde g(t) = { cos(2t) para 0 <= t < pi; 0 para t >= pi }

Passo 1

Vamos resolver a equação diferencial com as condições iniciais e . Aqui, é uma função definida por partes:
Vamos precisar usar métodos para resolver equações diferenciais lineares de segunda ordem com condições iniciais e funções de fonte que mudam de valor em certos intervalos de tempo.

Passo 2

Primeiro, resolvemos a equação homogênea associada:
A solução geral da equação homogênea é:
onde e são constantes a serem determinadas pelas condições iniciais.

Passo 3

Agora, encontramos uma solução particular para a equação completa . Para , temos .
Como o termo da função de força já é uma solução da equação homogênea, precisamos multiplicar por para encontrar a solução particular. Assim, assumimos:
Derivando e substituindo na equação diferencial, encontramos os valores de e :
Portanto, a solução particular é:

Passo 4

A solução geral para é a soma da solução homogênea e da solução particular:
Aplicamos as condições iniciais para encontrar e .

Passo 5

Aplicando :
Aplicando , primeiro encontramos a derivada de :
Substituindo e :

Passo 6

Assim, a solução para é:

Passo 7

Para , temos . A equação diferencial torna-se homogênea:
A solução geral é:
Determina-se e aplicando as condições de continuidade em .

Passo 8

Garantimos que e sejam contínuas em :
Calculamos e usando a solução para , e igualamos às expressões para e em para encontrar e .

Resposta

A solução completa da equação diferencial é:
onde e são constantes determinadas pelas condições de continuidade em .

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