Encontre a solução dos problemas dados abaixo:
d)
, onde
d)
Passo 1
Vamos resolver a equação diferencial
com as condições iniciais
e
. Aqui,
é uma função definida por partes:
Vamos precisar usar métodos para resolver equações diferenciais lineares de segunda ordem com condições iniciais e funções de fonte que mudam de valor em certos intervalos de tempo.
Passo 2
Primeiro, resolvemos a equação homogênea associada:
A solução geral da equação homogênea é:
onde
e
são constantes a serem determinadas pelas condições iniciais.
Passo 3
Agora, encontramos uma solução particular
para a equação completa
. Para
, temos
.
Como o termo da função de força
já é uma solução da equação homogênea, precisamos multiplicar por
para encontrar a solução particular. Assim, assumimos:
Derivando
e substituindo na equação diferencial, encontramos os valores de
e
:
Portanto, a solução particular é:
Passo 4
A solução geral para
é a soma da solução homogênea e da solução particular:
Aplicamos as condições iniciais para encontrar
e
.
Passo 5
Aplicando
:
Aplicando
, primeiro encontramos a derivada de
:
Substituindo
e
:
Passo 6
Assim, a solução para
é:
Passo 7
Para
, temos
. A equação diferencial torna-se homogênea:
A solução geral é:
Determina-se
e
aplicando as condições de continuidade em
.
Passo 8
Garantimos que
e
sejam contínuas em
:
Calculamos
e
usando a solução para
, e igualamos às expressões para
e
em
para encontrar
e
.
Resposta
A solução completa da equação diferencial é:
onde
e
são constantes determinadas pelas condições de continuidade em
.